Bases et repères de l'espace

5.1 Base de l'espace

Définition. Trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ non coplanaires forment une base de l'espace, notée $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Propriété (décomposition). Si $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base, tout vecteur $\vec{u}$ s'écrit de façon unique $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$ Les réels $x$, $y$, $z$ sont les coordonnées de $\vec{u}$ dans cette base ; on note $\vec{u}\,(x\,;y\,;z)$.

Pourquoi. On dessine $\vec{u} = \overrightarrow{OM}$. La droite passant par $M$, de vecteur directeur $\vec{k}$, coupe le plan passant par $O$ dirigé par $\vec{i}$ et $\vec{j}$ en un point $M'$ (elle ne lui est pas parallèle, car $\vec{k}$ n'est pas dans sa direction). Alors $\overrightarrow{OM'} = x\vec{i} + y\vec{j}$ (leçon 3) et $\overrightarrow{M'M} = z\vec{k}$ (leçon 2), d'où l'écriture. Elle est unique : si l'on avait deux écritures différentes, leur différence donnerait $(x - x')\vec{i} + (y - y')\vec{j} + (z - z')\vec{k} = \vec{0}$ avec un coefficient non nul, et l'un des vecteurs serait une combinaison linéaire des deux autres : ils seraient coplanaires.

C'est ce que dit le programme : « trois vecteurs non coplanaires engendrent les vecteurs de l'espace ». Et si une droite et un plan sont sécants, un vecteur directeur de la droite et deux vecteurs non colinéaires de la direction du plan forment une base.

5.2 Repère et coordonnées d'un point

Définition. Un repère de l'espace est formé d'un point $O$ (l'origine) et d'une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ; on le note $(O\,;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Les coordonnées d'un point $M$ sont celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$ : $M(x\,;y\,;z) \iff \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$ $x$ est l'abscisse, $y$ l'ordonnée et $z$ la cote de $M$. À chaque point de l'espace correspond ainsi un unique triplet de réels $(x\,;y\,;z)$, et réciproquement : c'est une bijection entre l'espace et $\mathbb{R}^3$.

Le repère n'a pas besoin d'être orthonormé : les repères orthonormés, et avec eux les distances, viennent au chapitre 9.

Exemple 18. Dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ du cube : $A(0\,;0\,;0),\ B(1\,;0\,;0),\ C(1\,;1\,;0),\ D(0\,;1\,;0),\ E(0\,;0\,;1),\ F(1\,;0\,;1),\ G(1\,;1\,;1),\ H(0\,;1\,;1).$ Le milieu $I$ de $[FG]$ a pour coordonnées $\left(1\,;\frac12\,;1\right)$, et le vecteur $\overrightarrow{EC}$ a pour coordonnées $(1\,;1\,;-1)$, car $\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE}$.

5.3 Lire une base et une décomposition sur une figure

Pour savoir si trois vecteurs forment une base, on vérifie sur la figure qu'ils ne sont pas coplanaires.

Exemple 19. Dans le cube :

• $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC})$ n'est pas une base : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, les trois vecteurs sont dans la face du bas ;
• $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AG})$ est une base : la droite $(AG)$ coupe le plan $(ABD)$ en $A$ seulement.

Dans cette seconde base, $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ (on suit le chemin $A \to G \to H \to E$, car $\overrightarrow{GH} = -\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{HE} = -\overrightarrow{AD}$). Les coordonnées de $\overrightarrow{AE}$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AG})$ sont donc $(-1\,;-1\,;1)$, alors qu'elles valent $(0\,;0\,;1)$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ : les coordonnées dépendent de la base.

5.4 Calculer avec les coordonnées

Dans un repère $(O\,;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, avec $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ :

• $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\ y_B - y_A\,;\ z_B - z_A)$ ;
• le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\,;\ \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$ ;
• si $\vec{u}\,(x\,;y\,;z)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y'\,;z')$, alors $\vec{u} + \vec{v}\,(x + x'\,;y + y'\,;z + z')$ et $k\vec{u}\,(kx\,;ky\,;kz)$ ;
• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Exemple 20. Dans un repère, $A(1\,;2\,;-1)$, $B(3\,;1\,;0)$ et $C(7\,;-1\,;2)$.

$\overrightarrow{AB}\,(2\,;-1\,;1)$ et $\overrightarrow{AC}\,(6\,;-3\,;3)$, donc $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires et $A$, $B$, $C$ sont alignés. Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(2\,;\frac32\,;-\frac12\right)$.

Exemple 21. $\vec{u}\,(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{v}\,(-4\,;2\,;-6)$ sont colinéaires : $\vec{v} = -2\vec{u}$. En revanche, $\vec{u}\,(1\,;2\,;3)$ et $\vec{w}\,(2\,;4\,;5)$ ne le sont pas : il faudrait multiplier par $2$ pour passer de $1$ à $2$ et de $2$ à $4$, mais $2 \times 3 = 6 \neq 5$.

Décider par le calcul si trois vecteurs donnés par leurs coordonnées forment une base, ou trouver des coordonnées dans une autre base, demande de résoudre un système d'équations : c'est au chapitre 10.