Droites de l'espace

2.1 Vecteurs colinéaires

Définition. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ ou $\vec{u} = k\vec{v}$.

• Deux vecteurs non nuls colinéaires ont la même direction : de même sens si $k > 0$, de sens contraires si $k < 0$.
• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ($\vec{0} = 0 \times \vec{u}$).

Exemple 6. $\vec{u}$ et $-3\vec{u}$ sont colinéaires, de sens contraires. Dans le cube, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{GH}$ sont colinéaires : $\overrightarrow{GH} = -\overrightarrow{AB}$.

2.2 Vecteur directeur d'une droite

Définition. Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul qui a la direction de $d$. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$, et tout vecteur non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ en est un autre.

Une droite a donc une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

2.3 Une droite est définie par un point et un vecteur directeur

Propriété. Soit $A$ un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires : $M \in d \iff \text{il existe un réel } t \text{ tel que } \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}.$

Quand $t$ parcourt $\mathbb{R}$, le point $M$ parcourt toute la droite : $t = 0$ donne $A$, $t = 1$ le point $A'$ tel que $\overrightarrow{AA'} = \vec{u}$, $t < 0$ les points situés « de l'autre côté » de $A$. On dit qu'un vecteur non nul définit une direction de droites : toutes les droites de vecteur directeur $\vec{u}$ sont parallèles entre elles.

Exemple 7. Dans le cube, soit $d$ la droite passant par $E$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AC}$. Comme $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ($t = 1$), le point $G$ est sur $d$. Et le centre $N$ de la face $EFGH$ vérifie $\overrightarrow{EN} = \frac12\overrightarrow{EG} = \frac12\overrightarrow{AC}$ ($t = \frac12$) : il est aussi sur $d$. En fait, $d$ est la droite $(EG)$.

2.4 Alignement et parallélisme

Propriétés.

• Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Elles ont alors la même direction ; elles peuvent être confondues.

Exemple 8. Quatre points vérifient $\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}$. Les points $B$, $C$, $D$ sont-ils alignés ?

On exprime $\overrightarrow{BD}$ avec la relation de Chasles : $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} = 2\left(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right).$ Or $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$. Donc $\overrightarrow{BD} = 2\,\overrightarrow{CB}$ : ces vecteurs sont colinéaires, et $B$, $C$, $D$ sont alignés.

Exemple 9. Dans le cube, $I$ est le milieu de $[AE]$ et $J$ celui de $[CG]$. Montrer que $(IJ)$ et $(AC)$ sont parallèles.

$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CJ} = -\frac12\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AC} + \frac12\overrightarrow{CG}.$ Comme $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}$, les deux termes extrêmes s'annulent : $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AC}$. Les droites $(IJ)$ et $(AC)$ sont parallèles, et $ACJI$ est un parallélogramme.