Devoir sur 20 : Vecteurs, droites et plans de l'espace

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (9 points)

$ABCDEFGH$ est un cube : $ABCD$ est la face du bas, et $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . On note $I$ le milieu de $[EF]$ et $J$ le milieu de $[CD]$ .

Exprimer $\overrightarrow{IJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ . (2 points)
Montrer que $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{FC}$ . Que peut-on en déduire pour les droites $(IJ)$ et $(FC)$ ? (1 point)
Montrer que la droite $(IJ)$ est strictement parallèle au plan $(BCF)$ . (1,5 point)
On se place dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ . Donner les coordonnées de $I$ , de $J$ et du milieu $K$ de $[IJ]$ . (1,5 point)
Montrer que $K$ est aussi le milieu de $[AG]$ . En déduire que les droites $(IJ)$ et $(AG)$ sont sécantes. (1,5 point)
Les droites $(IJ)$ et $(AB)$ sont-elles sécantes ? Parallèles ? Conclure sur leur position relative. (1,5 point)

Exercice 2 (6 points)

$ABCD$ est un tétraèdre. On note $I$ , $J$ , $K$ , $L$ les milieux respectifs de $[AB]$ , $[CD]$ , $[AC]$ et $[BD]$ .

Montrer que $\overrightarrow{IK} = \dfrac12\overrightarrow{BC}$ et que $\overrightarrow{LJ} = \dfrac12\overrightarrow{BC}$ . (2 points)
En déduire la nature du quadrilatère $IKJL$ . Que peut-on dire des points $I$ , $K$ , $J$ , $L$ ? (1,5 point)
Montrer que la droite $(BC)$ est parallèle au plan $(IKJ)$ . (1,5 point)
Montrer de même que la droite $(AD)$ est parallèle au plan $(IKJ)$ . (1 point)

Exercice 3 (5 points)

Dans un repère de l'espace, on considère les points $A(2\,;1\,;0)$ , $B(1\,;3\,;-1)$ , $C(4\,;-3\,;2)$ et $D(0\,;2\,;3)$ .

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$ . Les points $A$ , $B$ , $C$ sont-ils alignés ? (1,5 point)
Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[BD]$ . (1 point)
Calculer les coordonnées du point $E$ tel que $ABED$ soit un parallélogramme. (1,5 point)
Déterminer le réel $m$ tel que les vecteurs $\vec{u}\,(m\,;2\,;-3)$ et $\vec{v}\,(4\,;-4\,;6)$ soient colinéaires. (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (2 pts)

(1 pt) Chemin $I \to E \to A \to D \to J$ : $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IE} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DJ}$ .
(1 pt) $\overrightarrow{IE} = -\frac12\overrightarrow{AB}$ ( $I$ milieu de $[EF]$ et $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}$ ), $\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AE}$ , $\overrightarrow{DJ} = \frac12\overrightarrow{DC} = \frac12\overrightarrow{AB}$ . Donc $\overrightarrow{IJ} = -\frac12\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} + \frac12\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE}.$

2. (1 pt) $\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{IJ}$ (0,5 pt). Les vecteurs directeurs sont égaux, donc colinéaires : $(IJ) \parallel (FC)$ ; plus précisément, $IJCF$ est un parallélogramme (0,5 pt).

3. (1,5 pt)

(1 pt) $(FC)$ est contenue dans le plan $(BCF)$ , et $(IJ) \parallel (FC)$ : $(IJ)$ est parallèle au plan $(BCF)$ .
(0,5 pt) $I$ n'est pas dans $(BCF)$ : sinon la droite $(IF)$ , c'est-à-dire $(EF)$ , serait dans ce plan, et $E$ aussi ; or $E$ n'est pas dans le plan de la face $BCGF$ . La droite est donc strictement parallèle au plan.

4. (1,5 pt) $E(0\,;0\,;1)$ et $F(1\,;0\,;1)$ donnent $I\left(\frac12\,;0\,;1\right)$ ; $C(1\,;1\,;0)$ et $D(0\,;1\,;0)$ donnent $J\left(\frac12\,;1\,;0\right)$ ; puis $K\left(\frac12\,;\frac12\,;\frac12\right)$ (0,5 pt chacun).

5. (1,5 pt)

(0,5 pt) $A(0\,;0\,;0)$ et $G(1\,;1\,;1)$ : le milieu de $[AG]$ est $\left(\frac12\,;\frac12\,;\frac12\right) = K$ .
(1 pt) $K$ est sur $(IJ)$ et sur $(AG)$ . Ces droites ne sont pas confondues, car $\overrightarrow{IJ}\,(0\,;1\,;-1)$ et $\overrightarrow{AG}\,(1\,;1\,;1)$ ne sont pas colinéaires. Elles sont donc sécantes en $K$ , le centre du cube.

6. (1,5 pt)

(0,5 pt) $\overrightarrow{IJ}\,(0\,;1\,;-1)$ et $\overrightarrow{AB}\,(1\,;0\,;0)$ ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.
(0,5 pt) Un point de $(AB)$ vérifie $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$ , donc $M(t\,;0\,;0)$ . Un point de $(IJ)$ vérifie $\overrightarrow{IM} = s\overrightarrow{IJ}$ , donc $M\left(\frac12\,;s\,;1 - s\right)$ . Un point commun aurait $s = 0$ (deuxième coordonnée) et $1 - s = 0$ (troisième coordonnée) : c'est impossible. Les droites ne sont pas sécantes.
(0,5 pt) Ni parallèles ni sécantes : $(IJ)$ et $(AB)$ sont non coplanaires.

Exercice 2

1. (2 pts)

(1 pt) $\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AK} = \frac12\overrightarrow{BA} + \frac12\overrightarrow{AC} = \frac12\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right) = \frac12\overrightarrow{BC}$ .
(1 pt) $\overrightarrow{LJ} = \overrightarrow{LD} + \overrightarrow{DJ} = \frac12\overrightarrow{BD} + \frac12\overrightarrow{DC} = \frac12\overrightarrow{BC}$ .

2. (1,5 pt) $\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{LJ}$ : $IKJL$ est un parallélogramme (1 pt). Ses quatre sommets sont donc coplanaires (0,5 pt).

3. (1,5 pt) $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{IK}$ (0,5 pt), et $\overrightarrow{IK}$ est dans la direction du plan $(IKJ)$ (0,5 pt). Le vecteur directeur de $(BC)$ est dans la direction du plan : $(BC)$ est parallèle à $(IKJ)$ (0,5 pt).

4. (1 pt) $\overrightarrow{IL} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BL} = \frac12\overrightarrow{AB} + \frac12\overrightarrow{BD} = \frac12\overrightarrow{AD}$ (0,5 pt). Or $L$ est dans le plan $(IKJ)$ (question 2), donc $\overrightarrow{IL}$ est dans sa direction, et $\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{IL}$ aussi : $(AD)$ est parallèle à $(IKJ)$ (0,5 pt).

Exercice 3

1. (1,5 pt) $\overrightarrow{AB}\,(-1\,;2\,;-1)$ et $\overrightarrow{AC}\,(2\,;-4\,;2)$ (0,5 pt chacun). $\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $A$ , $B$ , $C$ sont alignés (0,5 pt).

2. (1 pt) $M\left(\frac{1 + 0}{2}\,;\frac{3 + 2}{2}\,;\frac{-1 + 3}{2}\right) = \left(\frac12\,;\frac52\,;1\right)$ .

3. (1,5 pt) $ABED$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DE}$ (0,5 pt) : $x_E = 0 - 1 = -1$ , $y_E = 2 + 2 = 4$ , $z_E = 3 - 1 = 2$ , donc $E(-1\,;4\,;2)$ (1 pt). Contrôle : $[AE]$ et $[BD]$ ont le même milieu $\left(\frac12\,;\frac52\,;1\right)$ .

4. (1 pt) Les deux dernières coordonnées donnent $\vec{v} = -2\vec{u}$ ; il faut alors $4 = -2m$ , soit $m = -2$ .

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1 et 2	O2 Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire à partir d'une figure ; O3 parallélisme de droites
Ex. 1, 3	O6 Position relative d'une droite et d'un plan
Ex. 1, 4 et 5	O7 Coordonnées dans un repère de l'espace, milieu
Ex. 1, 6	O6 Position relative de deux droites (droites non coplanaires)
Ex. 2	O8 Problème de configuration dans un tétraèdre : parallélogramme, coplanarité, parallélisme
Ex. 3	O7 Calculs en coordonnées : alignement, milieu, parallélogramme, colinéarité