Positions relatives de droites et de plans

4.1 Deux droites

Deux droites de l'espace sont :

• soit coplanaires (contenues dans un même plan) : elles sont alors sécantes (un seul point commun) ou parallèles (strictement parallèles, ou confondues) ;
• soit non coplanaires : aucun plan ne les contient toutes les deux. Elles n'ont alors aucun point commun, et elles ne sont pas parallèles.

Exemple 13. Dans le cube : $(AB)$ et $(AD)$ sont sécantes en $A$ ; $(AB)$ et $(HG)$ sont parallèles ($\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AB}$) ; $(AB)$ et $(CG)$ sont non coplanaires.

Attention. Dans le plan, deux droites sans point commun sont parallèles. Dans l'espace, ce n'est plus vrai : $(AB)$ et $(CG)$ n'ont aucun point commun, et pourtant elles ne sont pas parallèles. Pour montrer que deux droites sont parallèles, on montre que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

4.2 Une droite et un plan

Une droite $d$ et un plan $\mathcal{P}$ sont dans l'une des trois situations suivantes :

1. $d$ est contenue dans $\mathcal{P}$ ;
2. $d$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$ : aucun point commun ;
3. $d$ et $\mathcal{P}$ sont sécants : ils ont un seul point commun.

On dit que $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$ dans les cas 1 et 2.

Propriété. Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{w}$, et $\mathcal{P}$ un plan dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$. $d \parallel \mathcal{P} \iff \vec{w}, \vec{u}, \vec{v} \text{ coplanaires} \iff \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \text{ pour deux réels } a, b.$ En particulier, si $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal{P}$, alors $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$.

Dans le cas contraire, $d$ et $\mathcal{P}$ sont sécants, et $\vec{w}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$ ne sont pas coplanaires : ils forment une base de l'espace (leçon 5).

Exemple 14. Dans le cube, $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$, et $(AC)$ est contenue dans le plan $(ABC)$ : la droite $(EG)$ est parallèle au plan $(ABC)$. Comme $E$ n'est pas dans ce plan, elle est strictement parallèle. La droite $(AG)$, elle, coupe le plan $(ABC)$ en un seul point, $A$.

4.3 Deux plans

Deux plans sont :

• soit parallèles : même direction ; ils sont alors confondus, ou strictement parallèles (aucun point commun) ;
• soit sécants : ils se coupent selon une droite.

Propriété. Deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles si, et seulement si, deux vecteurs non colinéaires qui dirigent $\mathcal{P}'$ sont dans la direction de $\mathcal{P}$.

Méthode. Pour trouver la droite d'intersection de deux plans sécants, il suffit de trouver deux points communs distincts.

Exemple 15. Dans le cube, les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont strictement parallèles (exemple 10). Les plans $(ABC)$ et $(ABF)$ sont sécants : $A$ et $B$ sont dans les deux plans, donc leur intersection est la droite $(AB)$.

Exemple 16. Intersection des plans $(ACG)$ et $(BDH)$.

Ils ne sont pas parallèles : $\overrightarrow{BD}$ n'est pas dans la direction de $(ACG)$. Soit $O$ le centre de la face $ABCD$ : c'est le milieu de $[AC]$, donc un point de $(ACG)$, et le milieu de $[BD]$, donc un point de $(BDH)$. De même, le centre $O'$ de la face $EFGH$, milieu de $[EG]$ et de $[FH]$, est dans les deux plans. Donc $(ACG) \cap (BDH) = (OO')$. Comme $\overrightarrow{OO'} = \overrightarrow{AE}$, cette droite est parallèle aux arêtes verticales du cube.

Exemple 17. $ABCD$ est un tétraèdre ; $I$, $J$, $K$ sont les milieux de $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$. Montrer que les plans $(IJK)$ et $(BCD)$ sont parallèles.

$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ} = \frac12\overrightarrow{BA} + \frac12\overrightarrow{AC} = \frac12\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right) = \frac12\overrightarrow{BC}.$ De même, $\overrightarrow{IK} = \frac12\overrightarrow{BD}$. Les vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$, qui dirigent $(IJK)$, sont dans la direction de $(BCD)$ : les plans sont parallèles. Ils sont strictement parallèles, car $I$ n'est pas dans $(BCD)$ (sinon la droite $(IB)$, c'est-à-dire $(AB)$, serait dans ce plan, et $A$ aussi).