Vecteurs, droites et plans de l'espace

Leçon 1 : Vecteurs de l'espace, translations, combinaisons linéaires

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1.1 Vecteurs de l'espace

La définition est la même que dans le plan. Deux points $A$ et $B$ de l'espace définissent le vecteur $\overrightarrow{AB}$ :

• sa direction est celle de la droite $(AB)$ ;
• son sens va de $A$ vers $B$ ;
• sa longueur (ou norme) est la distance $AB$.

Si $A = B$, on obtient le vecteur nul $\vec{0}$. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Comme dans le plan : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)} \iff [AC] \text{ et } [BD] \text{ ont le même milieu.}$

Exemple 1. Dans le cube, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$ : les quatre arêtes parallèles à $[AB]$ sont parcourues dans le même sens. De même, $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{DH}$.

1.2 Translations

Définition. Soit $\vec{u}$ un vecteur. La translation de vecteur $\vec{u}$ associe à tout point $M$ de l'espace le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$.

Une translation fait glisser toute la figure dans la direction de $\vec{u}$, sans la tourner ni la déformer.

Exemple 2. La translation de vecteur $\overrightarrow{AE}$ envoie $A$ sur $E$, $B$ sur $F$, $C$ sur $G$ et $D$ sur $H$ : elle fait monter la face du bas $ABCD$ sur la face du haut $EFGH$.

1.3 Calculer avec des vecteurs

Les opérations et les règles de calcul sont celles du plan.

• Somme et relation de Chasles : pour tous points $A$, $B$, $C$, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Si $ABDC$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ (règle du parallélogramme).
• Opposé : $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$, et $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$.
• Produit par un réel $k$ : si $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $k \neq 0$, le vecteur $k\vec{u}$ a la direction de $\vec{u}$, la longueur de $\vec{u}$ multipliée par $|k|$, le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$ et le sens contraire si $k < 0$. Si $k = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$, $k\vec{u} = \vec{0}$.
• On développe et on factorise comme d'habitude : $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$, $(k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$, $k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}$.

Ces règles marchent dans l'espace pour une raison simple : deux vecteurs dessinés à partir d'un même point sont toujours dans un même plan, où l'on retrouve la géométrie que tu connais.

Exemple 3. Calculer $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ dans le cube.

Comme $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CG}$, on remplace pour enchaîner les vecteurs : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AG}.$ C'est la grande diagonale du cube.

1.4 Combinaisons linéaires

Définition. Une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ est un vecteur de la forme $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels. On définit de même une combinaison linéaire de deux vecteurs : $a\vec{u} + b\vec{v}$.

Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire (lire une figure) : on choisit un chemin qui suit des vecteurs connus, puis on applique la relation de Chasles.

Exemple 4. Exprimer $\overrightarrow{BH}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.

On va de $B$ à $H$ en passant par $A$ puis par $D$ : $\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE},$ car $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$.

Représenter une combinaison linéaire (construire un point) : on part du point d'origine et on ajoute les vecteurs les uns après les autres. L'ordre des termes ne compte pas.

Exemple 5. Placer les points $M$ et $N$ définis par $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac12\overrightarrow{AE} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AN} = \frac12\overrightarrow{AB} + \frac12\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}.$

• On va de $A$ à $B$, puis on monte de la moitié de $\overrightarrow{AE}$, c'est-à-dire de $\frac12\overrightarrow{BF}$ : $M$ est le milieu de l'arête $[BF]$.
• On monte d'abord de $A$ à $E$, puis on avance de $\frac12\overrightarrow{EF}$ et de $\frac12\overrightarrow{EH}$ : $\overrightarrow{EN} = \frac12\left(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH}\right) = \frac12\overrightarrow{EG}$. $N$ est le milieu de $[EG]$, c'est-à-dire le centre de la face $EFGH$.

1.5 Un peu d'histoire

L'idée de vecteur vient de la physique. Newton compose les forces, et Leibniz cherche un calcul directement géométrique. Au XIXᵉ siècle, Hamilton construit les vecteurs par une approche algébrique. En 1839, dans sa théorie des marées, Grassmann étend la notion de vecteur à l'espace et lui donne des règles de calcul. À la fin du siècle, Maxwell, Gibbs, Heaviside et Peano dégagent le calcul vectoriel à trois dimensions que l'on utilise aujourd'hui.

Leçon 2 : Droites de l'espace

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2.1 Vecteurs colinéaires

Définition. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ ou $\vec{u} = k\vec{v}$.

• Deux vecteurs non nuls colinéaires ont la même direction : de même sens si $k > 0$, de sens contraires si $k < 0$.
• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ($\vec{0} = 0 \times \vec{u}$).

Exemple 6. $\vec{u}$ et $-3\vec{u}$ sont colinéaires, de sens contraires. Dans le cube, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{GH}$ sont colinéaires : $\overrightarrow{GH} = -\overrightarrow{AB}$.

2.2 Vecteur directeur d'une droite

Définition. Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul qui a la direction de $d$. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$, et tout vecteur non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ en est un autre.

Une droite a donc une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

2.3 Une droite est définie par un point et un vecteur directeur

Propriété. Soit $A$ un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires : $M \in d \iff \text{il existe un réel } t \text{ tel que } \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}.$

Quand $t$ parcourt $\mathbb{R}$, le point $M$ parcourt toute la droite : $t = 0$ donne $A$, $t = 1$ le point $A'$ tel que $\overrightarrow{AA'} = \vec{u}$, $t < 0$ les points situés « de l'autre côté » de $A$. On dit qu'un vecteur non nul définit une direction de droites : toutes les droites de vecteur directeur $\vec{u}$ sont parallèles entre elles.

Exemple 7. Dans le cube, soit $d$ la droite passant par $E$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AC}$. Comme $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ($t = 1$), le point $G$ est sur $d$. Et le centre $N$ de la face $EFGH$ vérifie $\overrightarrow{EN} = \frac12\overrightarrow{EG} = \frac12\overrightarrow{AC}$ ($t = \frac12$) : il est aussi sur $d$. En fait, $d$ est la droite $(EG)$.

2.4 Alignement et parallélisme

Propriétés.

• Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Elles ont alors la même direction ; elles peuvent être confondues.

Exemple 8. Quatre points vérifient $\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}$. Les points $B$, $C$, $D$ sont-ils alignés ?

On exprime $\overrightarrow{BD}$ avec la relation de Chasles : $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} = 2\left(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right).$ Or $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$. Donc $\overrightarrow{BD} = 2\,\overrightarrow{CB}$ : ces vecteurs sont colinéaires, et $B$, $C$, $D$ sont alignés.

Exemple 9. Dans le cube, $I$ est le milieu de $[AE]$ et $J$ celui de $[CG]$. Montrer que $(IJ)$ et $(AC)$ sont parallèles.

$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CJ} = -\frac12\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AC} + \frac12\overrightarrow{CG}.$ Comme $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}$, les deux termes extrêmes s'annulent : $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AC}$. Les droites $(IJ)$ et $(AC)$ sont parallèles, et $ACJI$ est un parallélogramme.

Leçon 3 : Plans de l'espace

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3.1 Un plan est défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Propriété. Soit $A$ un point, et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}, \quad \text{avec } x \text{ et } y \text{ réels},$ est un plan $\mathcal{P}$. On dit que $\mathcal{P}$ est le plan passant par $A$ et dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (ou par le couple $(\vec{u}, \vec{v})$).

Les deux réels $x$ et $y$ repèrent chaque point du plan, comme des coordonnées : avec $x = 2$ et $y = 1$, on part de $A$, on avance de $2\vec{u}$, puis de $\vec{v}$. On dit que $(\vec{u}, \vec{v})$ est une base de ce plan : deux vecteurs d'un plan forment une base de ce plan dès qu'ils ne sont pas colinéaires, et tout vecteur du plan s'écrit alors de façon unique $x\vec{u} + y\vec{v}$.

Cas de trois points. Si $A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés, ils définissent un unique plan, noté $(ABC)$, passant par $A$ et dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $M \in (ABC) \iff \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}, \quad x, y \in \mathbb{R}.$

3.2 Direction d'un plan

Définition. La direction du plan $\mathcal{P}$ dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l'ensemble des vecteurs $x\vec{u} + y\vec{v}$, $x$ et $y$ réels. Ce sont les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ avec $M$ et $N$ dans $\mathcal{P}$.

Ainsi, deux vecteurs non colinéaires définissent une direction de plan. Tout couple de vecteurs non colinéaires de cette direction dirige le même plan : par exemple, $(ABC)$ est aussi dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.

Définition. Deux plans sont parallèles s'ils ont la même direction. Ils sont alors confondus, ou sans point commun (strictement parallèles).

Exemple 10. Dans le cube, les faces $ABCD$ et $EFGH$ sont dans des plans parallèles : $(ABC)$ est dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, et $(EFG)$ par $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AD}$.

3.3 Vecteurs coplanaires, points coplanaires

Définition. Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si, en les dessinant à partir d'un même point $O$ ($\overrightarrow{OA} = \vec{u}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{v}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{w}$), les quatre points $O$, $A$, $B$, $C$ sont dans un même plan.

Propriété. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \text{ coplanaires} \iff \text{il existe deux réels } a \text{ et } b \text{ tels que } \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}.$ Autrement dit, $\vec{w}$ est dans la direction du plan dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Points coplanaires. Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires. Trois points sont toujours coplanaires.

Remarque. Si deux des trois vecteurs sont colinéaires, les trois sont coplanaires. Par exemple, $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{DH}$, donc $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{DH}$ sont coplanaires.

Exemple 11. Les points $A$, $B$, $G$, $H$ du cube sont-ils coplanaires ?

D'une part $\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$. D'autre part, d'après l'exemple 3, $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AH}.$ Comme $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ne sont pas colinéaires, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{AG}$ sont coplanaires : $A$, $B$, $G$, $H$ sont coplanaires. Ce plan coupe le cube selon le rectangle $ABGH$.

Exemple 12. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas coplanaires : $A$, $B$, $D$ sont dans le plan de la face du bas, et $E$ n'y est pas.

En revanche, $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ : le vecteur $\overrightarrow{EG}$ est dans la direction du plan $(ABC)$, bien que le segment $[EG]$ ne soit pas dans ce plan.

Leçon 4 : Positions relatives de droites et de plans

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4.1 Deux droites

Deux droites de l'espace sont :

• soit coplanaires (contenues dans un même plan) : elles sont alors sécantes (un seul point commun) ou parallèles (strictement parallèles, ou confondues) ;
• soit non coplanaires : aucun plan ne les contient toutes les deux. Elles n'ont alors aucun point commun, et elles ne sont pas parallèles.

Exemple 13. Dans le cube : $(AB)$ et $(AD)$ sont sécantes en $A$ ; $(AB)$ et $(HG)$ sont parallèles ($\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AB}$) ; $(AB)$ et $(CG)$ sont non coplanaires.

Attention. Dans le plan, deux droites sans point commun sont parallèles. Dans l'espace, ce n'est plus vrai : $(AB)$ et $(CG)$ n'ont aucun point commun, et pourtant elles ne sont pas parallèles. Pour montrer que deux droites sont parallèles, on montre que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

4.2 Une droite et un plan

Une droite $d$ et un plan $\mathcal{P}$ sont dans l'une des trois situations suivantes :

1. $d$ est contenue dans $\mathcal{P}$ ;
2. $d$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$ : aucun point commun ;
3. $d$ et $\mathcal{P}$ sont sécants : ils ont un seul point commun.

On dit que $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$ dans les cas 1 et 2.

Propriété. Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{w}$, et $\mathcal{P}$ un plan dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$. $d \parallel \mathcal{P} \iff \vec{w}, \vec{u}, \vec{v} \text{ coplanaires} \iff \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \text{ pour deux réels } a, b.$ En particulier, si $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal{P}$, alors $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$.

Dans le cas contraire, $d$ et $\mathcal{P}$ sont sécants, et $\vec{w}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$ ne sont pas coplanaires : ils forment une base de l'espace (leçon 5).

Exemple 14. Dans le cube, $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$, et $(AC)$ est contenue dans le plan $(ABC)$ : la droite $(EG)$ est parallèle au plan $(ABC)$. Comme $E$ n'est pas dans ce plan, elle est strictement parallèle. La droite $(AG)$, elle, coupe le plan $(ABC)$ en un seul point, $A$.

4.3 Deux plans

Deux plans sont :

• soit parallèles : même direction ; ils sont alors confondus, ou strictement parallèles (aucun point commun) ;
• soit sécants : ils se coupent selon une droite.

Propriété. Deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles si, et seulement si, deux vecteurs non colinéaires qui dirigent $\mathcal{P}'$ sont dans la direction de $\mathcal{P}$.

Méthode. Pour trouver la droite d'intersection de deux plans sécants, il suffit de trouver deux points communs distincts.

Exemple 15. Dans le cube, les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont strictement parallèles (exemple 10). Les plans $(ABC)$ et $(ABF)$ sont sécants : $A$ et $B$ sont dans les deux plans, donc leur intersection est la droite $(AB)$.

Exemple 16. Intersection des plans $(ACG)$ et $(BDH)$.

Ils ne sont pas parallèles : $\overrightarrow{BD}$ n'est pas dans la direction de $(ACG)$. Soit $O$ le centre de la face $ABCD$ : c'est le milieu de $[AC]$, donc un point de $(ACG)$, et le milieu de $[BD]$, donc un point de $(BDH)$. De même, le centre $O'$ de la face $EFGH$, milieu de $[EG]$ et de $[FH]$, est dans les deux plans. Donc $(ACG) \cap (BDH) = (OO')$. Comme $\overrightarrow{OO'} = \overrightarrow{AE}$, cette droite est parallèle aux arêtes verticales du cube.

Exemple 17. $ABCD$ est un tétraèdre ; $I$, $J$, $K$ sont les milieux de $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$. Montrer que les plans $(IJK)$ et $(BCD)$ sont parallèles.

$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ} = \frac12\overrightarrow{BA} + \frac12\overrightarrow{AC} = \frac12\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right) = \frac12\overrightarrow{BC}.$ De même, $\overrightarrow{IK} = \frac12\overrightarrow{BD}$. Les vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$, qui dirigent $(IJK)$, sont dans la direction de $(BCD)$ : les plans sont parallèles. Ils sont strictement parallèles, car $I$ n'est pas dans $(BCD)$ (sinon la droite $(IB)$, c'est-à-dire $(AB)$, serait dans ce plan, et $A$ aussi).

Leçon 5 : Bases et repères de l'espace

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5.1 Base de l'espace

Définition. Trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ non coplanaires forment une base de l'espace, notée $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Propriété (décomposition). Si $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base, tout vecteur $\vec{u}$ s'écrit de façon unique $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$ Les réels $x$, $y$, $z$ sont les coordonnées de $\vec{u}$ dans cette base ; on note $\vec{u}\,(x\,;y\,;z)$.

Pourquoi. On dessine $\vec{u} = \overrightarrow{OM}$. La droite passant par $M$, de vecteur directeur $\vec{k}$, coupe le plan passant par $O$ dirigé par $\vec{i}$ et $\vec{j}$ en un point $M'$ (elle ne lui est pas parallèle, car $\vec{k}$ n'est pas dans sa direction). Alors $\overrightarrow{OM'} = x\vec{i} + y\vec{j}$ (leçon 3) et $\overrightarrow{M'M} = z\vec{k}$ (leçon 2), d'où l'écriture. Elle est unique : si l'on avait deux écritures différentes, leur différence donnerait $(x - x')\vec{i} + (y - y')\vec{j} + (z - z')\vec{k} = \vec{0}$ avec un coefficient non nul, et l'un des vecteurs serait une combinaison linéaire des deux autres : ils seraient coplanaires.

C'est ce que dit le programme : « trois vecteurs non coplanaires engendrent les vecteurs de l'espace ». Et si une droite et un plan sont sécants, un vecteur directeur de la droite et deux vecteurs non colinéaires de la direction du plan forment une base.

5.2 Repère et coordonnées d'un point

Définition. Un repère de l'espace est formé d'un point $O$ (l'origine) et d'une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ; on le note $(O\,;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Les coordonnées d'un point $M$ sont celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$ : $M(x\,;y\,;z) \iff \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$ $x$ est l'abscisse, $y$ l'ordonnée et $z$ la cote de $M$. À chaque point de l'espace correspond ainsi un unique triplet de réels $(x\,;y\,;z)$, et réciproquement : c'est une bijection entre l'espace et $\mathbb{R}^3$.

Le repère n'a pas besoin d'être orthonormé : les repères orthonormés, et avec eux les distances, viennent au chapitre 9.

Exemple 18. Dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ du cube : $A(0\,;0\,;0),\ B(1\,;0\,;0),\ C(1\,;1\,;0),\ D(0\,;1\,;0),\ E(0\,;0\,;1),\ F(1\,;0\,;1),\ G(1\,;1\,;1),\ H(0\,;1\,;1).$ Le milieu $I$ de $[FG]$ a pour coordonnées $\left(1\,;\frac12\,;1\right)$, et le vecteur $\overrightarrow{EC}$ a pour coordonnées $(1\,;1\,;-1)$, car $\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE}$.

5.3 Lire une base et une décomposition sur une figure

Pour savoir si trois vecteurs forment une base, on vérifie sur la figure qu'ils ne sont pas coplanaires.

Exemple 19. Dans le cube :

• $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC})$ n'est pas une base : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, les trois vecteurs sont dans la face du bas ;
• $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AG})$ est une base : la droite $(AG)$ coupe le plan $(ABD)$ en $A$ seulement.

Dans cette seconde base, $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ (on suit le chemin $A \to G \to H \to E$, car $\overrightarrow{GH} = -\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{HE} = -\overrightarrow{AD}$). Les coordonnées de $\overrightarrow{AE}$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AG})$ sont donc $(-1\,;-1\,;1)$, alors qu'elles valent $(0\,;0\,;1)$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ : les coordonnées dépendent de la base.

5.4 Calculer avec les coordonnées

Dans un repère $(O\,;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, avec $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ :

• $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\ y_B - y_A\,;\ z_B - z_A)$ ;
• le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\,;\ \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$ ;
• si $\vec{u}\,(x\,;y\,;z)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y'\,;z')$, alors $\vec{u} + \vec{v}\,(x + x'\,;y + y'\,;z + z')$ et $k\vec{u}\,(kx\,;ky\,;kz)$ ;
• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Exemple 20. Dans un repère, $A(1\,;2\,;-1)$, $B(3\,;1\,;0)$ et $C(7\,;-1\,;2)$.

$\overrightarrow{AB}\,(2\,;-1\,;1)$ et $\overrightarrow{AC}\,(6\,;-3\,;3)$, donc $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires et $A$, $B$, $C$ sont alignés. Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(2\,;\frac32\,;-\frac12\right)$.

Exemple 21. $\vec{u}\,(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{v}\,(-4\,;2\,;-6)$ sont colinéaires : $\vec{v} = -2\vec{u}$. En revanche, $\vec{u}\,(1\,;2\,;3)$ et $\vec{w}\,(2\,;4\,;5)$ ne le sont pas : il faudrait multiplier par $2$ pour passer de $1$ à $2$ et de $2$ à $4$, mais $2 \times 3 = 6 \neq 5$.

Décider par le calcul si trois vecteurs donnés par leurs coordonnées forment une base, ou trouver des coordonnées dans une autre base, demande de résoudre un système d'équations : c'est au chapitre 10.

Leçon 6 : Problèmes de configuration dans l'espace

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 La méthode

Pour étudier un alignement, un parallélisme ou une coplanarité :

1. Choisir une base formée de trois vecteurs non coplanaires de la figure : $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ dans le cube, $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$ dans un tétraèdre $ABCD$.
2. Exprimer les vecteurs utiles dans cette base, avec la relation de Chasles et les données (milieux, points définis par une égalité vectorielle).
3. Conclure :
   • deux vecteurs colinéaires : alignement de points, ou droites parallèles ;
   • un vecteur combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires : coplanarité, droite parallèle à un plan ;
   • deux vecteurs non colinéaires de la direction d'un autre plan : plans parallèles.

On peut aussi travailler en coordonnées dans le repère associé : c'est la même méthode, écrite avec des nombres.

6.2 Exemple dans un tétraèdre

Exemple 22. $ABCD$ est un tétraèdre. $I$, $J$, $K$, $L$ sont les milieux des arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. Montrer que $I$, $J$, $K$, $L$ sont coplanaires.

$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} = \frac12\overrightarrow{AB} + \frac12\overrightarrow{BC} = \frac12\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) = \frac12\overrightarrow{AC}.$ De même, $\overrightarrow{LK} = \overrightarrow{LD} + \overrightarrow{DK} = \frac12\overrightarrow{AD} + \frac12\overrightarrow{DC} = \frac12\overrightarrow{AC}$.

Donc $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}$ : $IJKL$ est un parallélogramme, et ses quatre sommets sont coplanaires. Pourtant, $A$, $B$, $C$, $D$ ne le sont pas !

6.3 Exemple dans un cube

Exemple 23. Dans le cube, le point $K$ est défini par $\overrightarrow{AK} = \frac13\overrightarrow{AG}$. Montrer que $K$ appartient au plan $(BDE)$.

Base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$. Comme $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ : $\overrightarrow{AK} = \frac13\overrightarrow{AB} + \frac13\overrightarrow{AD} + \frac13\overrightarrow{AE}, \qquad \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} = -\frac23\overrightarrow{AB} + \frac13\overrightarrow{AD} + \frac13\overrightarrow{AE}.$ Vecteurs du plan : $\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$, non colinéaires. Alors $\frac13\overrightarrow{BD} + \frac13\overrightarrow{BE} = -\frac23\overrightarrow{AB} + \frac13\overrightarrow{AD} + \frac13\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BK}.$ Conclusion : $\overrightarrow{BK} = \frac13\overrightarrow{BD} + \frac13\overrightarrow{BE}$, donc $K \in (BDE)$. La droite $(AG)$ n'est pas parallèle à ce plan ($A$ n'y est pas et $K$ y est) : elle le coupe exactement en $K$, au tiers de la diagonale $[AG]$.

En coordonnées, dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ : $K\left(\frac13\,;\frac13\,;\frac13\right)$, $\overrightarrow{BK}\left(-\frac23\,;\frac13\,;\frac13\right)$, $\overrightarrow{BD}\,(-1\,;1\,;0)$, $\overrightarrow{BE}\,(-1\,;0\,;1)$, et l'on retrouve la même égalité.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Vecteurs de l'espace : mêmes règles de calcul que dans le plan (relation de Chasles, produit par un réel). Translation de vecteur $\vec{u}$ : $M \mapsto M'$ avec $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$.
2. Combinaison linéaire : $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$. On l'obtient sur une figure en suivant un chemin et en appliquant la relation de Chasles. Dans le cube, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG}$.
3. Droite passant par $A$, de vecteur directeur $\vec{u} \neq \vec{0}$ : $M \in d \iff \overrightarrow{AM} = t\vec{u}$, $t \in \mathbb{R}$. Alignement : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires. Droites parallèles : vecteurs directeurs colinéaires.
4. Plan passant par $A$, dirigé par $\vec{u}$, $\vec{v}$ non colinéaires : $M \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}$. Sa direction : les vecteurs $x\vec{u} + y\vec{v}$. Plans parallèles : même direction.
5. Coplanarité : si $\vec{u}$, $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. Points $A$, $B$, $C$, $D$ coplanaires : $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ coplanaires.
6. Positions relatives : deux droites sont coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires ; dans l'espace, « sans point commun » ne veut pas dire « parallèles ». Une droite est contenue dans un plan, strictement parallèle, ou sécante ; elle est parallèle au plan quand son vecteur directeur est dans la direction du plan. Deux plans sont parallèles ou sécants selon une droite (chercher deux points communs).
7. Base : trois vecteurs non coplanaires ; tout vecteur s'écrit de façon unique $x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Repère : $M(x\,;y\,;z) \iff \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. $\overrightarrow{AB}$ : « coordonnées de $B$ moins coordonnées de $A$ » ; milieu : moyennes ; colinéarité : coordonnées proportionnelles.
8. Problèmes de configuration : choisir une base de la figure, exprimer les vecteurs, conclure par colinéarité ou par combinaison linéaire.