Plans de l'espace

3.1 Un plan est défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Propriété. Soit $A$ un point, et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}, \quad \text{avec } x \text{ et } y \text{ réels},$ est un plan $\mathcal{P}$. On dit que $\mathcal{P}$ est le plan passant par $A$ et dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (ou par le couple $(\vec{u}, \vec{v})$).

Les deux réels $x$ et $y$ repèrent chaque point du plan, comme des coordonnées : avec $x = 2$ et $y = 1$, on part de $A$, on avance de $2\vec{u}$, puis de $\vec{v}$. On dit que $(\vec{u}, \vec{v})$ est une base de ce plan : deux vecteurs d'un plan forment une base de ce plan dès qu'ils ne sont pas colinéaires, et tout vecteur du plan s'écrit alors de façon unique $x\vec{u} + y\vec{v}$.

Cas de trois points. Si $A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés, ils définissent un unique plan, noté $(ABC)$, passant par $A$ et dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $M \in (ABC) \iff \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}, \quad x, y \in \mathbb{R}.$

3.2 Direction d'un plan

Définition. La direction du plan $\mathcal{P}$ dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l'ensemble des vecteurs $x\vec{u} + y\vec{v}$, $x$ et $y$ réels. Ce sont les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ avec $M$ et $N$ dans $\mathcal{P}$.

Ainsi, deux vecteurs non colinéaires définissent une direction de plan. Tout couple de vecteurs non colinéaires de cette direction dirige le même plan : par exemple, $(ABC)$ est aussi dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.

Définition. Deux plans sont parallèles s'ils ont la même direction. Ils sont alors confondus, ou sans point commun (strictement parallèles).

Exemple 10. Dans le cube, les faces $ABCD$ et $EFGH$ sont dans des plans parallèles : $(ABC)$ est dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, et $(EFG)$ par $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AD}$.

3.3 Vecteurs coplanaires, points coplanaires

Définition. Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si, en les dessinant à partir d'un même point $O$ ($\overrightarrow{OA} = \vec{u}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{v}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{w}$), les quatre points $O$, $A$, $B$, $C$ sont dans un même plan.

Propriété. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \text{ coplanaires} \iff \text{il existe deux réels } a \text{ et } b \text{ tels que } \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}.$ Autrement dit, $\vec{w}$ est dans la direction du plan dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Points coplanaires. Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires. Trois points sont toujours coplanaires.

Remarque. Si deux des trois vecteurs sont colinéaires, les trois sont coplanaires. Par exemple, $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{DH}$, donc $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{DH}$ sont coplanaires.

Exemple 11. Les points $A$, $B$, $G$, $H$ du cube sont-ils coplanaires ?

D'une part $\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$. D'autre part, d'après l'exemple 3, $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AH}.$ Comme $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ne sont pas colinéaires, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{AG}$ sont coplanaires : $A$, $B$, $G$, $H$ sont coplanaires. Ce plan coupe le cube selon le rectangle $ABGH$.

Exemple 12. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas coplanaires : $A$, $B$, $D$ sont dans le plan de la face du bas, et $E$ n'y est pas.

En revanche, $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ : le vecteur $\overrightarrow{EG}$ est dans la direction du plan $(ABC)$, bien que le segment $[EG]$ ne soit pas dans ce plan.