Vecteurs de l'espace, translations, combinaisons linéaires

1.1 Vecteurs de l'espace

La définition est la même que dans le plan. Deux points $A$ et $B$ de l'espace définissent le vecteur $\overrightarrow{AB}$ :

• sa direction est celle de la droite $(AB)$ ;
• son sens va de $A$ vers $B$ ;
• sa longueur (ou norme) est la distance $AB$.

Si $A = B$, on obtient le vecteur nul $\vec{0}$. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Comme dans le plan : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD \text{ est un parallélogramme (éventuellement aplati)} \iff [AC] \text{ et } [BD] \text{ ont le même milieu.}$

Exemple 1. Dans le cube, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$ : les quatre arêtes parallèles à $[AB]$ sont parcourues dans le même sens. De même, $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{DH}$.

1.2 Translations

Définition. Soit $\vec{u}$ un vecteur. La translation de vecteur $\vec{u}$ associe à tout point $M$ de l'espace le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$.

Une translation fait glisser toute la figure dans la direction de $\vec{u}$, sans la tourner ni la déformer.

Exemple 2. La translation de vecteur $\overrightarrow{AE}$ envoie $A$ sur $E$, $B$ sur $F$, $C$ sur $G$ et $D$ sur $H$ : elle fait monter la face du bas $ABCD$ sur la face du haut $EFGH$.

1.3 Calculer avec des vecteurs

Les opérations et les règles de calcul sont celles du plan.

• Somme et relation de Chasles : pour tous points $A$, $B$, $C$, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Si $ABDC$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ (règle du parallélogramme).
• Opposé : $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$, et $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$.
• Produit par un réel $k$ : si $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $k \neq 0$, le vecteur $k\vec{u}$ a la direction de $\vec{u}$, la longueur de $\vec{u}$ multipliée par $|k|$, le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$ et le sens contraire si $k < 0$. Si $k = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$, $k\vec{u} = \vec{0}$.
• On développe et on factorise comme d'habitude : $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$, $(k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$, $k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}$.

Ces règles marchent dans l'espace pour une raison simple : deux vecteurs dessinés à partir d'un même point sont toujours dans un même plan, où l'on retrouve la géométrie que tu connais.

Exemple 3. Calculer $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ dans le cube.

Comme $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CG}$, on remplace pour enchaîner les vecteurs : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AG}.$ C'est la grande diagonale du cube.

1.4 Combinaisons linéaires

Définition. Une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ est un vecteur de la forme $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels. On définit de même une combinaison linéaire de deux vecteurs : $a\vec{u} + b\vec{v}$.

Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire (lire une figure) : on choisit un chemin qui suit des vecteurs connus, puis on applique la relation de Chasles.

Exemple 4. Exprimer $\overrightarrow{BH}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.

On va de $B$ à $H$ en passant par $A$ puis par $D$ : $\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE},$ car $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$.

Représenter une combinaison linéaire (construire un point) : on part du point d'origine et on ajoute les vecteurs les uns après les autres. L'ordre des termes ne compte pas.

Exemple 5. Placer les points $M$ et $N$ définis par $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac12\overrightarrow{AE} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AN} = \frac12\overrightarrow{AB} + \frac12\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}.$

• On va de $A$ à $B$, puis on monte de la moitié de $\overrightarrow{AE}$, c'est-à-dire de $\frac12\overrightarrow{BF}$ : $M$ est le milieu de l'arête $[BF]$.
• On monte d'abord de $A$ à $E$, puis on avance de $\frac12\overrightarrow{EF}$ et de $\frac12\overrightarrow{EH}$ : $\overrightarrow{EN} = \frac12\left(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH}\right) = \frac12\overrightarrow{EG}$. $N$ est le milieu de $[EG]$, c'est-à-dire le centre de la face $EFGH$.

1.5 Un peu d'histoire

L'idée de vecteur vient de la physique. Newton compose les forces, et Leibniz cherche un calcul directement géométrique. Au XIXᵉ siècle, Hamilton construit les vecteurs par une approche algébrique. En 1839, dans sa théorie des marées, Grassmann étend la notion de vecteur à l'espace et lui donne des règles de calcul. À la fin du siècle, Maxwell, Gibbs, Heaviside et Peano dégagent le calcul vectoriel à trois dimensions que l'on utilise aujourd'hui.