Intégration par parties

Au chapitre 13, $x \mapsto x\,\mathrm{e}^x$ résistait à toutes les formes de primitives. Il n'y a pas de règle pour intégrer un produit, mais il existe une technique, qui part de la dérivée d'un produit.

9.1 La formule

Théorème (intégration par parties). Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, à dérivées continues sur $I$, et $a$, $b$ deux réels de $I$. Alors $\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.$

Démonstration. On a $(uv)' = u'v + uv'$ : la fonction $uv$ est une primitive de la fonction continue $u'v + uv'$. Donc $\Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b = \int_a^b \big(u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x$ par linéarité. On isole la dernière intégrale.

9.2 Bien choisir $u$ et $v'$

On veut que la nouvelle intégrale soit plus simple que l'ancienne.

Pour $x\,\mathrm{e}^x$, le choix $u(x) = x$, $v'(x) = \mathrm{e}^x$ laisse à intégrer $\mathrm{e}^x$. Le choix $u(x) = \mathrm{e}^x$, $v'(x) = x$ laisse à intégrer $\dfrac{x^2}{2}\,\mathrm{e}^x$ : c'est pire.

Méthode. On écrit toujours les quatre fonctions $u$, $u'$, $v'$, $v$ avant de calculer.

9.3 Exemples

Exemple 40. $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$. On pose $u(x) = x$, $u'(x) = 1$, $v'(x) = \mathrm{e}^x$, $v(x) = \mathrm{e}^x$. $\int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[x\,\mathrm{e}^x\Big]_0^1 - \int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1.$

Exemple 41. $\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x$. On pose $u(x) = x$, $u'(x) = 1$, $v'(x) = \sin x$, $v(x) = -\cos x$ (attention au signe). $\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = \pi + 0 = \pi.$

Exemple 42 (une astuce pour $\ln$). $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x$. On écrit $\ln x = \ln x \times 1$, et on pose $u(x) = \ln x$, $u'(x) = \dfrac1x$, $v'(x) = 1$, $v(x) = x$. $\int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x = \Big[x\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}} - \int_1^{\mathrm{e}} 1\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1.$ On obtient au passage une primitive de $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$ : $x \mapsto x\ln x - x$.

Exemple 43 (deux fois de suite). $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$. On pose $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$, $v'(x) = \mathrm{e}^x$, $v(x) = \mathrm{e}^x$. $\int_0^1 x^2\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[x^2\,\mathrm{e}^x\Big]_0^1 - 2\int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - 2 \times 1 = \mathrm{e} - 2,$ en utilisant l'exemple 40. Le degré du polynôme baisse de $1$ à chaque intégration par parties.

Exemple 44. $\displaystyle\int_0^1 (2x + 1)\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$. On pose $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v'(x) = \mathrm{e}^x$, $v(x) = \mathrm{e}^x$. $\int_0^1 (2x + 1)\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[(2x + 1)\,\mathrm{e}^x\Big]_0^1 - 2\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = (3\,\mathrm{e} - 1) - 2(\mathrm{e} - 1) = \mathrm{e} + 1.$