Intégrer des inégalités

6.1 Comparer deux intégrales

Propriété. Si $a \leq b$ et si $f \leq g$ sur $[a\,;b]$, avec $f$ et $g$ continues, alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.$

Démonstration. $g - f \geq 0$ sur $[a\,;b]$, donc $\displaystyle\int_a^b (g - f) \geq 0$ par positivité. Par linéarité, $\displaystyle\int_a^b g - \int_a^b f \geq 0$.

6.2 Encadrer par des constantes

Conséquence. Si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $[a\,;b]$, avec $a \leq b$, alors $m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b - a).$

Sur le dessin, pour $f$ positive, le domaine est coincé entre deux rectangles.

Exemple 27. Soit $\displaystyle I = \int_1^2 \dfrac{1}{1 + x^3}\,\mathrm{d}x$. La fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^3}$ est décroissante sur $[1\,;2]$, avec $f(1) = \dfrac12$ et $f(2) = \dfrac19$. Donc $\dfrac19 \leq f(x) \leq \dfrac12$. Le segment a pour longueur $1$ : $\dfrac19 \leq I \leq \dfrac12$.

6.3 Encadrer par des fonctions

On peut aussi comparer à une fonction que l'on sait intégrer. C'est la capacité « majorer ou minorer une intégrale à partir d'une majoration ou d'une minoration de la fonction ».

Exemple 28. Soit $\displaystyle I = \int_0^1 \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$. Sur $[0\,;1]$, $x^2 \leq x$, donc $-x \leq -x^2$. La fonction exponentielle est croissante : $\mathrm{e}^{-x} \leq \mathrm{e}^{-x^2} \leq 1$. On intègre : $\int_0^1 \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = \Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1 = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}, \qquad\text{donc}\qquad 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}} \leq I \leq 1.$ Soit environ $0{,}63 \leq I \leq 1$. La leçon 11 donnera $I \approx 0{,}747$.

Exemple 29 (une inégalité sur $\ln$). Pour $t \geq 1$, $\dfrac{1}{t^2} \leq \dfrac1t \leq 1$. Soit $x \geq 1$. On intègre de $1$ à $x$ : $1 - \dfrac1x \leq \ln x \leq x - 1.$

6.4 Estimer sur une grille

Sans formule, on peut lire un encadrement sur un quadrillage dont chaque carreau a pour aire $1$ u.a. : on compte les carreaux entièrement sous la courbe, puis on ajoute ceux que la courbe traverse.

Exemple 30. Pour $f(x) = \dfrac{x^2}{2} + 1$ sur $[0\,;3]$, on compte $5$ carreaux sous la courbe, et $11$ avec ceux qu'elle traverse. Donc $\displaystyle 5 \leq \int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x \leq 11$. Le calcul exact donne $\left[\dfrac{x^3}{6} + x\right]_0^3 = 7{,}5$.