Aire entre deux courbes

7.1 La formule

Propriété. Soit $f$ et $g$ continues sur $[a\,;b]$, avec $g \leq f$ sur $[a\,;b]$. L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ vaut $\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x.$

Justification. Si $f$ et $g$ sont positives, c'est la grande aire moins la petite aire. Sinon, on ajoute à $f$ et à $g$ une même constante $k$ qui les rend positives : le domaine est simplement translaté, et $f - g$ ne change pas.

7.2 La méthode

1. Étudier le signe de $f - g$, en factorisant si possible. Il s'annule aux points d'intersection des courbes.
2. Découper en ces points : sur chaque morceau, on écrit la fonction du haut moins la fonction du bas.
3. Calculer, additionner, et donner le résultat dans l'unité demandée.

Exemple 31. Entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;1]$ : $x - x^2 = x(1 - x) \geq 0$. L'aire vaut $\int_0^1 \left(x - x^2\right)\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16 \text{ u.a.}$

7.3 Quand les courbes se croisent

Exemple 32. Entre $y = x^3$ et $y = x$ sur $[-1\,;1]$ : $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$, positif sur $[-1\,;0]$ et négatif sur $[0\,;1]$. L'aire vaut $\int_{-1}^{0} \left(x^3 - x\right)\mathrm{d}x + \int_0^1 \left(x - x^3\right)\mathrm{d}x = \dfrac14 + \dfrac14 = \dfrac12 \text{ u.a.}$ Sans découpage, on trouverait $\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(x^3 - x\right)\mathrm{d}x = 0$, ce qui est faux.

7.4 Une courbe et sa tangente

Exemple 33. La fonction exponentielle est convexe, donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$, d'équation $y = x + 1$. Sur $[0\,;1]$, l'aire entre les deux vaut $\int_0^1 \left(\mathrm{e}^x - x - 1\right)\mathrm{d}x = \left[\mathrm{e}^x - \dfrac{x^2}{2} - x\right]_0^1 = \left(\mathrm{e} - \dfrac32\right) - 1 = \mathrm{e} - \dfrac52 \approx 0{,}22 \text{ u.a.}$

7.5 Une pièce de vitrail

Exemple 34. Un verrier découpe une pièce de vitrail comprise entre les courbes de $f(x) = 5 - x^2$ et $g(x) = \dfrac{x^2}{4}$, l'unité étant le décimètre. On a $f(x) = g(x) \iff \dfrac54 x^2 = 5 \iff x = -2$ ou $x = 2$, et $g \leq f$ sur $[-2\,;2]$. L'aire vaut $\int_{-2}^{2} \left(5 - \dfrac54 x^2\right)\mathrm{d}x = \left[5x - \dfrac{5x^3}{12}\right]_{-2}^{2} = \dfrac{40}{3} \text{ dm}^2 = \dfrac{2}{15} \text{ m}^2.$ Avec un verre à $300$ euros le mètre carré, la pièce revient à $\dfrac{2}{15} \times 300 = 40$ euros.