Calculer une intégrale avec une primitive

3.1 La formule

Propriété. Si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, et si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a\,;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).$

Démonstration. $F$ et $F_a$ sont deux primitives de $f$ sur l'intervalle $[a\,;b]$. Elles diffèrent d'une constante (chapitre 13) : il existe un réel $c$ tel que $F_a(x) = F(x) + c$ pour tout $x$. En $x = a$ : $0 = F(a) + c$, donc $c = -F(a)$. En $x = b$ : $F_a(b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).$

3.2 La notation avec des crochets

On note $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$.

Méthode. On écrit une primitive entre crochets. Puis on remplace $x$ par la borne du haut, puis par celle du bas, et on soustrait, avec des parenthèses.

Peu importe la primitive choisie : avec $F + k$, on obtient $(F(b) + k) - (F(a) + k) = F(b) - F(a)$. La constante disparaît.

3.3 Exemples

Exemple 9. $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac13 - 0 = \dfrac13$. C'est le résultat que les rectangles laissaient deviner.

Exemple 10. $\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,\mathrm{d}x = \Big[x^2 + x\Big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10$. On vérifie sur la figure : c'est un trapèze de bases $3$ et $7$, de hauteur $2$.

Exemple 11. $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\mathrm{d}x = \Big[\sin x\Big]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$ et $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = 1 + 1 = 2$.

Exemple 12. $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \dfrac1x\,\mathrm{d}x = \Big[\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}} = 1 - 0 = 1$.

Exemple 13. $\displaystyle\int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x = \Big[2\sqrt x\Big]_1^4 = 4 - 2 = 2$ et $\displaystyle\int_0^{\ln 3} \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[\mathrm{e}^x\Big]_0^{\ln 3} = 3 - 1 = 2$.

Exemple 14. $\displaystyle\int_1^2 \left(3x^2 - \dfrac2x\right)\mathrm{d}x = \Big[x^3 - 2\ln x\Big]_1^2 = (8 - 2\ln 2) - 1 = 7 - 2\ln 2$.

3.4 Avec les formes du chapitre 13

On reconnaît les formes $u'\,\mathrm{e}^u$, $u'u^n$, $\dfrac{u'}{u}$, $\dfrac{u'}{\sqrt u}$, en ajustant un facteur constant si besoin.

Exemple 15. $\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac12\,\mathrm{e}^{2x}\right]_0^1 = \dfrac12\left(\mathrm{e}^2 - 1\right)$.

Exemple 16. $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \Big[\ln\left(x^2 + 1\right)\Big]_0^1 = \ln 2$ : forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1 > 0$.

Exemple 17. $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac12\,\mathrm{e}^{x^2}\right]_0^1 = \dfrac{\mathrm{e} - 1}{2}$ : forme $\dfrac12\,u'\,\mathrm{e}^u$ avec $u(x) = x^2$.

Exemple 18. $\displaystyle\int_0^1 (2x + 1)^3\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{(2x + 1)^4}{8}\right]_0^1 = \dfrac{81 - 1}{8} = 10$ et $\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin(2x)\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac12\cos(2x)\right]_0^{\pi/4} = 0 + \dfrac12 = \dfrac12$.

3.5 Une aire en situation

Exemple 19 (le porche d'une grange). Le porche d'une grange a la forme d'un arc de parabole : $y = 4 - x^2$ pour $x$ dans $[-2\,;2]$, en mètres. L'aire de l'ouverture vaut $\int_{-2}^{2} \left(4 - x^2\right)\mathrm{d}x = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}7 \text{ m}^2.$ Un panneau de bois à $30$ euros le mètre carré coûte $\dfrac{32}{3} \times 30 = 320$ euros.