Suites d'intégrales

Une intégrale peut dépendre d'un entier $n$ : on obtient une suite. On peut souvent tout savoir d'elle sans calculer ses termes.

10.1 Sens de variation

Pour tout entier naturel $n$, on pose $\displaystyle I_n = \int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x}\,\mathrm{d}x$. On a $I_0 = \Big[\ln(1 + x)\Big]_0^1 = \ln 2$.

Sur $[0\,;1]$, $x^{n+1} \leq x^n$, donc $\dfrac{x^{n+1}}{1 + x} \leq \dfrac{x^n}{1 + x}$. On intègre : $I_{n+1} \leq I_n$. La suite est décroissante.

De plus, $\dfrac{x^n}{1 + x} \geq 0$ sur $[0\,;1]$, donc $I_n \geq 0$. La suite est décroissante et minorée par $0$ : elle converge (chapitre 2).

10.2 Limite, par encadrement

Sur $[0\,;1]$, $1 + x \geq 1$, donc $0 \leq \dfrac{x^n}{1 + x} \leq x^n$. On intègre : $0 \leq I_n \leq \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\right]_0^1 = \dfrac{1}{n + 1}.$ D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$.

10.3 Relation de récurrence, par la linéarité

Par linéarité, $I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \dfrac{x^n + x^{n+1}}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \dfrac{x^n(1 + x)}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{n + 1}.$

On calcule ainsi les termes de proche en proche : $I_1 = 1 - I_0 = 1 - \ln 2$, puis $I_2 = \dfrac12 - I_1 = \ln 2 - \dfrac12$, puis $I_3 = \dfrac13 - I_2 = \dfrac56 - \ln 2$.

10.4 Relation de récurrence, par parties

Pour tout entier naturel $n$, on pose $\displaystyle J_n = \int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$.

Dans $J_{n+1}$, on pose $u(x) = x^{n+1}$, $u'(x) = (n + 1)\,x^n$, $v'(x) = \mathrm{e}^x$, $v(x) = \mathrm{e}^x$ : $J_{n+1} = \Big[x^{n+1}\,\mathrm{e}^x\Big]_0^1 - (n + 1)\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (n + 1)\,J_n.$

Avec $J_0 = \mathrm{e} - 1$, on trouve $J_1 = 1$, $J_2 = \mathrm{e} - 2$, $J_3 = 6 - 2\,\mathrm{e}$.

Sur $[0\,;1]$, $\mathrm{e}^x \leq \mathrm{e}$, donc $0 \leq x^n\,\mathrm{e}^x \leq \mathrm{e}\,x^n$, et par intégration $0 \leq J_n \leq \dfrac{\mathrm{e}}{n + 1}$. Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} J_n = 0$. La relation donne même $(n + 1)\,J_n = \mathrm{e} - J_{n+1}$, qui tend vers $\mathrm{e}$ : quand $n$ est grand, $J_n$ ressemble à $\dfrac{\mathrm{e}}{n}$.

10.5 La méthode