Relation de Chasles, linéarité, positivité

Dans cette leçon, $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, et $a$, $b$, $c$ sont des réels de $I$.

5.1 La relation de Chasles

Propriété. $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x.$

Démonstration. $(F(b) - F(a)) + (F(c) - F(b)) = F(c) - F(a)$.

Pour $f \geq 0$ et $a \leq b \leq c$, cela veut dire que les aires s'ajoutent. La relation reste vraie quel que soit l'ordre de $a$, $b$ et $c$. Elle sert à traiter les fonctions définies par morceaux.

Exemple 24. Calculons $\displaystyle I = \int_0^3 |x - 1|\,\mathrm{d}x$. Sur $[0\,;1]$, $|x - 1| = 1 - x$ ; sur $[1\,;3]$, $|x - 1| = x - 1$. Donc $I = \int_0^1 (1 - x)\,\mathrm{d}x + \int_1^3 (x - 1)\,\mathrm{d}x = \left[x - \dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 + \left[\dfrac{x^2}{2} - x\right]_1^3 = \dfrac12 + 2 = \dfrac52.$

5.2 La linéarité

Propriété. Pour tout réel $k$, $\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x \qquad\text{et}\qquad \int_a^b k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

Démonstration. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$, alors $F + G$ est une primitive de $f + g$, et $kF$ est une primitive de $kf$. On écrit la différence entre $b$ et $a$.

Attention : il n'y a pas de règle pour un produit de deux fonctions. Par exemple, $\displaystyle\int_0^1 x \times x\,\mathrm{d}x = \dfrac13$, alors que $\left(\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x\right)^2 = \dfrac14$.

Exemple 25 (deux intégrales qui s'aident). On cherche $\displaystyle I = \int_0^1 \dfrac{x}{1 + x}\,\mathrm{d}x$. On pose $\displaystyle J = \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \Big[\ln(1 + x)\Big]_0^1 = \ln 2$. Par linéarité, $I + J = \int_0^1 \dfrac{x + 1}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 1\,\mathrm{d}x = 1.$ Donc $I = 1 - \ln 2$.

5.3 La positivité

Propriété. Si $a \leq b$ et si $f \geq 0$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0$. De même, si $a \leq b$ et si $f \leq 0$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq 0$.

Démonstration. Dans le premier cas, l'intégrale est une aire. Dans le second, c'est l'opposé d'une aire.

Exemple 26. Sur $[1\,;\mathrm{e}]$, $\ln x \geq 0$, donc $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x \geq 0$, sans aucun calcul.

5.4 Deux pièges

• L'ordre des bornes. $x^2 \geq 0$, mais $\displaystyle\int_1^0 x^2\,\mathrm{d}x = -\dfrac13 < 0$, car ici $1 > 0$.
• La réciproque est fausse. $\displaystyle\int_{-1}^{2} x\,\mathrm{d}x = \dfrac32 > 0$, alors que $x < 0$ sur $[-1\,;0[$.