Cours : Calcul intégral, Spécialité mathématiques

Combien mesure l'aire sous une courbe ? Ce chapitre répond à cette question très ancienne, et la réponse est surprenante : une aire se calcule avec une primitive. Le problème des aires et celui des tangentes sont deux faces d'un même problème. L'intégrale donne ainsi des aires, mais aussi des distances, des énergies, des valeurs moyennes. Et quand on ne connaît pas de primitive, on sait encore l'encadrer ou l'approcher.

Leçon 1 : L'intégrale, une aire sous la courbe

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 L'unité d'aire

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;I\,;J)$ . L'unité d'aire, notée u.a., est l'aire du rectangle de côtés $OI$ et $OJ$ . Toutes les aires de ce chapitre se mesurent dans cette unité.

Exemple 1. Si une unité vaut $2$ cm en abscisse et $1$ cm en ordonnée, alors $1$ u.a. $= 2 \times 1 = 2$ cm $^2$ .

1.2 Définition

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un segment $[a\,;b]$ , avec $a \leq b$ . Le domaine sous la courbe est la partie du plan limitée par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ .

Définition. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine sous la courbe. On la note $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

On s'appuie ici sur la notion intuitive d'aire, vue au collège, sans chercher à la définir davantage.

1.3 Lire la notation

$a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale.
$\mathrm{d}x$ indique la variable d'intégration.
Le résultat est un nombre, qui ne dépend pas de $x$ . La variable est muette : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ .
Si $a = b$ , le domaine est réduit à un segment : $\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ .

1.4 Lire une intégrale sur une figure

Quand le domaine est une figure connue, l'aire se lit directement.

Exemple 2 (rectangle). $\displaystyle\int_0^3 2\,\mathrm{d}x = 3 \times 2 = 6$ .

Exemple 3 (trapèze). $\displaystyle\int_1^3 x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1 + 3}{2} \times 2 = 4$ : le domaine est un trapèze de bases $1$ et $3$ , de hauteur $2$ .

Exemple 4 (avec une unité). $\displaystyle\int_0^4 \left(\dfrac{x}{2} + 1\right)\mathrm{d}x = \dfrac{1 + 3}{2} \times 4 = 8$ u.a. Si $1$ u.a. $= 2$ cm $^2$ , l'aire vaut $16$ cm $^2$ .

Exemple 5 (demi-disque). La courbe de $x \mapsto \sqrt{4 - x^2}$ est un demi-cercle de rayon $2$ , car $y = \sqrt{4 - x^2}$ équivaut à $x^2 + y^2 = 4$ avec $y \geq 0$ . Donc $\displaystyle\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{\pi \times 2^2}{2} = 2\pi$ .

1.5 Encadrer par des rectangles

Sous une parabole, aucune formule de géométrie ne s'applique. On encadre alors l'aire par des rectangles.

Prenons $f(x) = x^2$ sur $[0\,;1]$ . On découpe le segment en $n$ morceaux de largeur $\dfrac1n$ . Comme $f$ est croissante, sur chaque morceau, la hauteur prise à gauche donne un rectangle sous la courbe, et la hauteur prise à droite donne un rectangle au-dessus.

Exemple 6 ( $n = 4$ ). Sous la courbe : $\dfrac14\left(0 + \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{9}{16}\right) = \dfrac{7}{32}$ . Au-dessus : $\dfrac14\left(\dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{9}{16} + 1\right) = \dfrac{15}{32}$ . Donc $\dfrac{7}{32} \leq \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leq \dfrac{15}{32}.$

Avec $n$ rectangles, la formule de la somme des carrés, $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (chapitre 1), donne les deux sommes :

$s_n = \dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} \qquad\text{et}\qquad S_n = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}.$

$n$	$4$	$10$	$100$
Sous la courbe, $s_n$	$0{,}21875$	$0{,}285$	$0{,}32835$
Au-dessus, $S_n$	$0{,}46875$	$0{,}385$	$0{,}33835$

Les deux suites ont pour limite $\dfrac{2}{6} = \dfrac13$ . Comme $s_n \leq \displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leq S_n$ pour tout $n$ , on obtient $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac13.$

1.6 Une somme qui devient une intégrale

Chaque rectangle a pour aire $f(x_i)\,\Delta x$ : sa hauteur fois sa largeur. La somme des rectangles s'écrit $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ . Quand $\Delta x$ devient très petit, cette somme se rapproche de l'intégrale. On met ainsi en regard les deux écritures : $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x \qquad\text{et}\qquad \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

Le signe $\int$ est un S allongé, comme somme, et $\mathrm{d}x$ rappelle $\Delta x$ .

Un peu d'histoire. Cette idée est très ancienne. On en trouve des anticipations chez Archimède (quadrature de la parabole), Liu Hui (volume d'un cylindre), Ibn al-Haytham (volume d'un paraboloïde) puis, bien plus tard, chez Cavalieri et sa méthode des indivisibles.

Leçon 2 : La primitive qui s'annule en $a$

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 L'aire, fonction de $x$

Fixons la borne de gauche, et laissons bouger celle de droite. Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$ . Pour tout $x$ de $[a\,;b]$ , on pose $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t.$

C'est l'aire sous la courbe jusqu'à l'abscisse $x$ . La variable s'appelle $t$ , car la lettre $x$ est déjà prise par la borne.

2.2 Deux exemples

Exemple 7. Pour $f(t) = t$ et $x \geq 0$ , le domaine entre $0$ et $x$ est un triangle de base $x$ et de hauteur $x$ : $F_0(x) = \dfrac{x^2}{2}$ . On constate que $F_0'(x) = x$ .

Exemple 8. Pour $f(t) = 2t + 1$ et $x \geq 1$ , le domaine entre $1$ et $x$ est un trapèze de bases $3$ et $2x + 1$ , de hauteur $x - 1$ : $F_1(x) = \dfrac{3 + (2x + 1)}{2}(x - 1) = x^2 + x - 2$ . On constate que $F_1'(x) = 2x + 1$ .

À chaque fois, la dérivée de l'aire est la fonction de départ. Ce n'est pas un hasard.

2.3 Le théorème

Théorème. Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a\,;b]$ , alors la fonction $F_a$ définie sur $[a\,;b]$ par $F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable sur $[a\,;b]$ , et $F_a' = f$ . De plus $F_a(a) = 0$ . Autrement dit, $F_a$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .

Le cas général est admis. On démontre le théorème lorsque $f$ est croissante.

2.4 Démonstration lorsque $f$ est croissante

Soit $f$ continue, positive et croissante sur $[a\,;b]$ , et $F = F_a$ . Soit $x_0$ dans $[a\,;b]$ .

Cas $h > 0$ , avec $x_0 + h \leq b$ . La différence $F(x_0 + h) - F(x_0)$ est l'aire de la bande comprise entre $x_0$ et $x_0 + h$ . Comme $f$ est croissante, cette bande contient le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0)$ , et elle est contenue dans le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0 + h)$ . Donc $h\,f(x_0) \leq F(x_0 + h) - F(x_0) \leq h\,f(x_0 + h).$ On divise par $h > 0$ : $f(x_0) \leq \dfrac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} \leq f(x_0 + h).$

Cas $h < 0$ , avec $x_0 + h \geq a$ . La bande est à gauche de $x_0$ , de largeur $-h$ . De la même façon, $-h\,f(x_0 + h) \leq F(x_0) - F(x_0 + h) \leq -h\,f(x_0)$ . On divise par $-h > 0$ : $f(x_0 + h) \leq \dfrac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} \leq f(x_0).$

Limite. Comme $f$ est continue, $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0)$ . D'après le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement de $F$ en $x_0$ a pour limite $f(x_0)$ . Donc $F$ est dérivable en $x_0$ , et $F'(x_0) = f(x_0)$ . (Si $x_0 = a$ ou $x_0 = b$ , seul un des deux cas a lieu.)

Enfin, $F(a) = \displaystyle\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0$ .

Le cas d'une fonction décroissante se traite de la même façon, en échangeant les hauteurs (exercice 4).

2.5 Ce qu'il faut comprendre

Quand $x$ avance d'un petit pas $h$ , l'aire gagne à peu près $f(x) \times h$ . La vitesse à laquelle l'aire grandit est donc la hauteur de la courbe. Comme $f$ est positive, $F_a' = f \geq 0$ : la fonction $F_a$ est croissante.

Un peu d'histoire. Au XVIIe siècle, Fermat, Huygens, Pascal et Barrow reconnaissent que le problème des aires (le calcul intégral) est le problème inverse de celui des tangentes (la dérivation). Les travaux de Newton et de Leibniz révèlent deux visions et deux pratiques du calcul infinitésimal. Des fondations solides sont proposées plus tard par Cauchy, qui fait de la notion de limite le point de départ de l'analyse.

Leçon 3 : Calculer une intégrale avec une primitive

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 La formule

Propriété. Si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$ , et si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a\,;b]$ , alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).$

Démonstration. $F$ et $F_a$ sont deux primitives de $f$ sur l'intervalle $[a\,;b]$ . Elles diffèrent d'une constante (chapitre 13) : il existe un réel $c$ tel que $F_a(x) = F(x) + c$ pour tout $x$ . En $x = a$ : $0 = F(a) + c$ , donc $c = -F(a)$ . En $x = b$ : $F_a(b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).$

3.2 La notation avec des crochets

On note $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$ .

Méthode. On écrit une primitive entre crochets. Puis on remplace $x$ par la borne du haut, puis par celle du bas, et on soustrait, avec des parenthèses.

Peu importe la primitive choisie : avec $F + k$ , on obtient $(F(b) + k) - (F(a) + k) = F(b) - F(a)$ . La constante disparaît.

3.3 Exemples

Exemple 9. $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac13 - 0 = \dfrac13$ . C'est le résultat que les rectangles laissaient deviner.

Exemple 10. $\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,\mathrm{d}x = \Big[x^2 + x\Big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10$ . On vérifie sur la figure : c'est un trapèze de bases $3$ et $7$ , de hauteur $2$ .

Exemple 11. $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\mathrm{d}x = \Big[\sin x\Big]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$ et $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = 1 + 1 = 2$ .

Exemple 12. $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \dfrac1x\,\mathrm{d}x = \Big[\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}} = 1 - 0 = 1$ .

Exemple 13. $\displaystyle\int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x = \Big[2\sqrt x\Big]_1^4 = 4 - 2 = 2$ et $\displaystyle\int_0^{\ln 3} \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[\mathrm{e}^x\Big]_0^{\ln 3} = 3 - 1 = 2$ .

Exemple 14. $\displaystyle\int_1^2 \left(3x^2 - \dfrac2x\right)\mathrm{d}x = \Big[x^3 - 2\ln x\Big]_1^2 = (8 - 2\ln 2) - 1 = 7 - 2\ln 2$ .

3.4 Avec les formes du chapitre 13

On reconnaît les formes $u'\,\mathrm{e}^u$ , $u'u^n$ , $\dfrac{u'}{u}$ , $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ , en ajustant un facteur constant si besoin.

Exemple 15. $\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac12\,\mathrm{e}^{2x}\right]_0^1 = \dfrac12\left(\mathrm{e}^2 - 1\right)$ .

Exemple 16. $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \Big[\ln\left(x^2 + 1\right)\Big]_0^1 = \ln 2$ : forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1 > 0$ .

Exemple 17. $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac12\,\mathrm{e}^{x^2}\right]_0^1 = \dfrac{\mathrm{e} - 1}{2}$ : forme $\dfrac12\,u'\,\mathrm{e}^u$ avec $u(x) = x^2$ .

Exemple 18. $\displaystyle\int_0^1 (2x + 1)^3\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{(2x + 1)^4}{8}\right]_0^1 = \dfrac{81 - 1}{8} = 10$ et $\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin(2x)\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac12\cos(2x)\right]_0^{\pi/4} = 0 + \dfrac12 = \dfrac12$ .

3.5 Une aire en situation

Exemple 19 (le porche d'une grange). Le porche d'une grange a la forme d'un arc de parabole : $y = 4 - x^2$ pour $x$ dans $[-2\,;2]$ , en mètres. L'aire de l'ouverture vaut $\int_{-2}^{2} \left(4 - x^2\right)\mathrm{d}x = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}7 \text{ m}^2.$ Un panneau de bois à $30$ euros le mètre carré coûte $\dfrac{32}{3} \times 30 = 320$ euros.

Leçon 4 : Signe quelconque, existence des primitives

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Toute fonction continue a des primitives

Au chapitre 13, on a admis ce résultat. Le voici, avec sa justification sur un segment.

Théorème. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Démonstration sur un segment $[a\,;b]$ . On admet que $f$ , continue sur le segment, y possède un minimum $m$ . La fonction $g = f - m$ est alors continue et positive sur $[a\,;b]$ . D'après le théorème de la leçon 2, elle admet une primitive $G$ . Posons $F(x) = G(x) + mx$ . Alors $F'(x) = g(x) + m = f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$ .

Ce qui reste admis : l'existence du minimum, le théorème de la leçon 2 lorsque $f$ n'est pas monotone, et le passage d'un segment à un intervalle quelconque.

Exemple 20. $f(x) = x$ sur $[-1\,;2]$ . Le minimum vaut $m = -1$ , et $g(x) = x + 1$ . La primitive de $g$ qui s'annule en $-1$ est $G(x) = \dfrac{(x + 1)^2}{2}$ . Alors $F(x) = G(x) - x = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac12$ , et $F'(x) = x$ .

4.2 Une primitive, même sans formule

Le chapitre 13 a signalé que $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ n'a pas de primitive explicite : aucune formule avec les fonctions usuelles. Elle a pourtant des primitives, par le théorème, et on peut en écrire une : $x \mapsto \displaystyle\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ .

Une intégrale peut donc définir une fonction. Le logarithme en est un exemple : pour $x > 0$ , $\ln x = \int_1^x \dfrac{\mathrm{d}t}{t}.$

Le nombre $\ln x$ est, pour $x \geq 1$ , l'aire sous l'hyperbole entre $1$ et $x$ .

4.3 L'intégrale, sans condition de signe

Définition. Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ , $a$ et $b$ deux réels de $I$ , et $F$ une primitive de $f$ sur $I$ . On pose $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).$

Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. Si $f$ est positive et $a \leq b$ , on retrouve l'aire. Mais ici, $f$ peut changer de signe, et $a$ n'est plus forcément inférieur à $b$ . On en déduit : $\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0 \qquad\text{et}\qquad \int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

Pour toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et tout $a$ de $I$ , la fonction $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ .

4.4 Quand la courbe passe sous l'axe

Propriété. Si $f \leq 0$ sur $[a\,;b]$ , avec $a \leq b$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'opposé de l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses.

En effet, $-f$ est positive, et son intégrale est cette aire. Or $-F$ est une primitive de $-f$ , donc $\displaystyle\int_a^b (-f) = -\int_a^b f$ .

Exemple 21. $\displaystyle\int_{-1}^{0} x^3\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-1}^{0} = 0 - \dfrac14 = -\dfrac14$ . Le domaine a une aire de $\dfrac14$ u.a., et il est sous l'axe.

4.5 Quand la courbe change de signe

Les parties au-dessus de l'axe comptent positivement, celles en dessous négativement : elles se compensent. L'intégrale n'est pas l'aire totale.

Exemple 22. Pour $f(x) = x^2 - 1$ sur $[0\,;2]$ , une primitive est $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$ . On trouve $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = -\dfrac23$ et $\displaystyle\int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac43$ . Donc $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = -\dfrac23 + \dfrac43 = \dfrac23$ . Mais l'aire totale vaut $\dfrac23 + \dfrac43 = 2$ u.a.

Exemple 23. $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = \Big[-\cos x\Big]_0^{2\pi} = 0$ . Les deux arches, d'aire $2$ chacune, se compensent exactement. Une intégrale nulle ne veut pas dire que la fonction est nulle.

Méthode. Pour une aire totale, on découpe d'abord là où la fonction change de signe.

Leçon 5 : Relation de Chasles, linéarité, positivité

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Dans cette leçon, $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ , $c$ sont des réels de $I$ .

5.1 La relation de Chasles

Propriété. $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x.$

Démonstration. $(F(b) - F(a)) + (F(c) - F(b)) = F(c) - F(a)$ .

Pour $f \geq 0$ et $a \leq b \leq c$ , cela veut dire que les aires s'ajoutent. La relation reste vraie quel que soit l'ordre de $a$ , $b$ et $c$ . Elle sert à traiter les fonctions définies par morceaux.

Exemple 24. Calculons $\displaystyle I = \int_0^3 |x - 1|\,\mathrm{d}x$ . Sur $[0\,;1]$ , $|x - 1| = 1 - x$ ; sur $[1\,;3]$ , $|x - 1| = x - 1$ . Donc $I = \int_0^1 (1 - x)\,\mathrm{d}x + \int_1^3 (x - 1)\,\mathrm{d}x = \left[x - \dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 + \left[\dfrac{x^2}{2} - x\right]_1^3 = \dfrac12 + 2 = \dfrac52.$

5.2 La linéarité

Propriété. Pour tout réel $k$ , $\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x \qquad\text{et}\qquad \int_a^b k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

Démonstration. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ , alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ , et $kF$ est une primitive de $kf$ . On écrit la différence entre $b$ et $a$ .

Attention : il n'y a pas de règle pour un produit de deux fonctions. Par exemple, $\displaystyle\int_0^1 x \times x\,\mathrm{d}x = \dfrac13$ , alors que $\left(\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x\right)^2 = \dfrac14$ .

Exemple 25 (deux intégrales qui s'aident). On cherche $\displaystyle I = \int_0^1 \dfrac{x}{1 + x}\,\mathrm{d}x$ . On pose $\displaystyle J = \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \Big[\ln(1 + x)\Big]_0^1 = \ln 2$ . Par linéarité, $I + J = \int_0^1 \dfrac{x + 1}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 1\,\mathrm{d}x = 1.$ Donc $I = 1 - \ln 2$ .

5.3 La positivité

Propriété. Si $a \leq b$ et si $f \geq 0$ sur $[a\,;b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0$ . De même, si $a \leq b$ et si $f \leq 0$ sur $[a\,;b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq 0$ .

Démonstration. Dans le premier cas, l'intégrale est une aire. Dans le second, c'est l'opposé d'une aire.

Exemple 26. Sur $[1\,;\mathrm{e}]$ , $\ln x \geq 0$ , donc $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x \geq 0$ , sans aucun calcul.

5.4 Deux pièges

L'ordre des bornes. $x^2 \geq 0$ , mais $\displaystyle\int_1^0 x^2\,\mathrm{d}x = -\dfrac13 < 0$ , car ici $1 > 0$ .
La réciproque est fausse. $\displaystyle\int_{-1}^{2} x\,\mathrm{d}x = \dfrac32 > 0$ , alors que $x < 0$ sur $[-1\,;0[$ .

Leçon 6 : Intégrer des inégalités

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6.1 Comparer deux intégrales

Propriété. Si $a \leq b$ et si $f \leq g$ sur $[a\,;b]$ , avec $f$ et $g$ continues, alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.$

Démonstration. $g - f \geq 0$ sur $[a\,;b]$ , donc $\displaystyle\int_a^b (g - f) \geq 0$ par positivité. Par linéarité, $\displaystyle\int_a^b g - \int_a^b f \geq 0$ .

6.2 Encadrer par des constantes

Conséquence. Si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $[a\,;b]$ , avec $a \leq b$ , alors $m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b - a).$

Sur le dessin, pour $f$ positive, le domaine est coincé entre deux rectangles.

Exemple 27. Soit $\displaystyle I = \int_1^2 \dfrac{1}{1 + x^3}\,\mathrm{d}x$ . La fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^3}$ est décroissante sur $[1\,;2]$ , avec $f(1) = \dfrac12$ et $f(2) = \dfrac19$ . Donc $\dfrac19 \leq f(x) \leq \dfrac12$ . Le segment a pour longueur $1$ : $\dfrac19 \leq I \leq \dfrac12$ .

6.3 Encadrer par des fonctions

On peut aussi comparer à une fonction que l'on sait intégrer. C'est la capacité « majorer ou minorer une intégrale à partir d'une majoration ou d'une minoration de la fonction ».

Exemple 28. Soit $\displaystyle I = \int_0^1 \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ . Sur $[0\,;1]$ , $x^2 \leq x$ , donc $-x \leq -x^2$ . La fonction exponentielle est croissante : $\mathrm{e}^{-x} \leq \mathrm{e}^{-x^2} \leq 1$ . On intègre : $\int_0^1 \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = \Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1 = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}, \qquad\text{donc}\qquad 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}} \leq I \leq 1.$ Soit environ $0{,}63 \leq I \leq 1$ . La leçon 11 donnera $I \approx 0{,}747$ .

Exemple 29 (une inégalité sur $\ln$ ). Pour $t \geq 1$ , $\dfrac{1}{t^2} \leq \dfrac1t \leq 1$ . Soit $x \geq 1$ . On intègre de $1$ à $x$ : $1 - \dfrac1x \leq \ln x \leq x - 1.$

6.4 Estimer sur une grille

Sans formule, on peut lire un encadrement sur un quadrillage dont chaque carreau a pour aire $1$ u.a. : on compte les carreaux entièrement sous la courbe, puis on ajoute ceux que la courbe traverse.

Exemple 30. Pour $f(x) = \dfrac{x^2}{2} + 1$ sur $[0\,;3]$ , on compte $5$ carreaux sous la courbe, et $11$ avec ceux qu'elle traverse. Donc $\displaystyle 5 \leq \int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x \leq 11$ . Le calcul exact donne $\left[\dfrac{x^3}{6} + x\right]_0^3 = 7{,}5$ .

Leçon 7 : Aire entre deux courbes

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 La formule

Propriété. Soit $f$ et $g$ continues sur $[a\,;b]$ , avec $g \leq f$ sur $[a\,;b]$ . L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ vaut $\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x.$

Justification. Si $f$ et $g$ sont positives, c'est la grande aire moins la petite aire. Sinon, on ajoute à $f$ et à $g$ une même constante $k$ qui les rend positives : le domaine est simplement translaté, et $f - g$ ne change pas.

7.2 La méthode

Étudier le signe de $f - g$ , en factorisant si possible. Il s'annule aux points d'intersection des courbes.
Découper en ces points : sur chaque morceau, on écrit la fonction du haut moins la fonction du bas.
Calculer, additionner, et donner le résultat dans l'unité demandée.

Exemple 31. Entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;1]$ : $x - x^2 = x(1 - x) \geq 0$ . L'aire vaut $\int_0^1 \left(x - x^2\right)\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16 \text{ u.a.}$

7.3 Quand les courbes se croisent

Exemple 32. Entre $y = x^3$ et $y = x$ sur $[-1\,;1]$ : $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$ , positif sur $[-1\,;0]$ et négatif sur $[0\,;1]$ . L'aire vaut $\int_{-1}^{0} \left(x^3 - x\right)\mathrm{d}x + \int_0^1 \left(x - x^3\right)\mathrm{d}x = \dfrac14 + \dfrac14 = \dfrac12 \text{ u.a.}$ Sans découpage, on trouverait $\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(x^3 - x\right)\mathrm{d}x = 0$ , ce qui est faux.

7.4 Une courbe et sa tangente

Exemple 33. La fonction exponentielle est convexe, donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$ , d'équation $y = x + 1$ . Sur $[0\,;1]$ , l'aire entre les deux vaut $\int_0^1 \left(\mathrm{e}^x - x - 1\right)\mathrm{d}x = \left[\mathrm{e}^x - \dfrac{x^2}{2} - x\right]_0^1 = \left(\mathrm{e} - \dfrac32\right) - 1 = \mathrm{e} - \dfrac52 \approx 0{,}22 \text{ u.a.}$

7.5 Une pièce de vitrail

Exemple 34. Un verrier découpe une pièce de vitrail comprise entre les courbes de $f(x) = 5 - x^2$ et $g(x) = \dfrac{x^2}{4}$ , l'unité étant le décimètre. On a $f(x) = g(x) \iff \dfrac54 x^2 = 5 \iff x = -2$ ou $x = 2$ , et $g \leq f$ sur $[-2\,;2]$ . L'aire vaut $\int_{-2}^{2} \left(5 - \dfrac54 x^2\right)\mathrm{d}x = \left[5x - \dfrac{5x^3}{12}\right]_{-2}^{2} = \dfrac{40}{3} \text{ dm}^2 = \dfrac{2}{15} \text{ m}^2.$ Avec un verre à $300$ euros le mètre carré, la pièce revient à $\dfrac{2}{15} \times 300 = 40$ euros.

Leçon 8 : Valeur moyenne d'une fonction

Voir la vidéo de la leçon 8

8.1 Définition

Prenons $n$ valeurs de $f$ , régulièrement réparties sur $[a\,;b]$ , avec $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ . Leur moyenne s'écrit $\dfrac1n\sum_{i=1}^{n} f(x_i) = \dfrac{1}{b - a}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x.$ Quand $n$ devient très grand, la somme se rapproche de l'intégrale. D'où la définition.

Définition. Soit $f$ continue sur $[a\,;b]$ , avec $a < b$ . La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est le réel $\mu = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

8.2 Un rectangle de même aire

L'égalité s'écrit $\mu\,(b - a) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ . Si $f$ est positive, le rectangle de largeur $b - a$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que le domaine sous la courbe : ce qui dépasse au-dessus de la courbe compense ce qui manque en dessous.

Exemple 35. Valeur moyenne de $x \mapsto x^2$ sur $[0\,;3]$ : $\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 9$ , donc $\mu = \dfrac93 = 3$ .

Exemple 36. Valeur moyenne de $\sin$ sur $[0\,;\pi]$ : $\mu = \dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}64$ . Ce n'est pas $\dfrac12$ : la moyenne dépend de la forme de la courbe, pas seulement de ses valeurs extrêmes.

8.3 Encadrer une valeur moyenne

Propriété. Si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $[a\,;b]$ , avec $a < b$ , alors $m \leq \mu \leq M$ .

En effet, $m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b - a)$ , et on divise par $b - a > 0$ .

Exemple 37. Sur $[0\,;1]$ , $\dfrac12 \leq \dfrac{1}{1 + x^2} \leq 1$ . La valeur moyenne de cette fonction est donc comprise entre $\dfrac12$ et $1$ .

8.4 Interpréter dans une autre discipline

Quand une grandeur $g(t)$ est la dérivée d'une autre grandeur $G(t)$ , l'intégrale $\displaystyle\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t = G(b) - G(a)$ donne la variation de $G$ entre $a$ et $b$ .

Fonction intégrée	Intégrale	Valeur moyenne
Vitesse (m/s)	Distance (m)	Vitesse moyenne
Puissance (kW)	Énergie (kWh)	Puissance moyenne
Débit (L/min)	Volume (L)	Débit moyen
Intensité de la pluie (mm/h)	Hauteur d'eau (mm)	Intensité moyenne

Exemple 38 (un tramway). Un tramway relie deux stations en $60$ secondes. Sa vitesse, en mètres par seconde, vaut $v(t) = \dfrac{t(60 - t)}{90}$ . La distance parcourue vaut $\int_0^{60} v(t)\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{90}\left[30t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right]_0^{60} = 400 \text{ m}.$ La vitesse moyenne vaut $\dfrac{400}{60} = \dfrac{20}{3}$ m/s, soit $24$ km/h. C'est la vitesse constante qui ferait parcourir la même distance dans le même temps.

Exemple 39 (un radiateur). La puissance d'un radiateur baisse pendant quatre heures : $P(t) = 2 - 0{,}25\,t$ , en kilowatts, $t$ en heures. L'énergie consommée vaut $\displaystyle\int_0^4 P(t)\,\mathrm{d}t = \Big[2t - 0{,}125\,t^2\Big]_0^4 = 6$ kWh. La puissance moyenne vaut $\dfrac64 = 1{,}5$ kW. À $0{,}25$ euro le kilowattheure, cela coûte $1{,}50$ euro.

Leçon 9 : Intégration par parties

Voir la vidéo de la leçon 9

Au chapitre 13, $x \mapsto x\,\mathrm{e}^x$ résistait à toutes les formes de primitives. Il n'y a pas de règle pour intégrer un produit, mais il existe une technique, qui part de la dérivée d'un produit.

9.1 La formule

Théorème (intégration par parties). Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , à dérivées continues sur $I$ , et $a$ , $b$ deux réels de $I$ . Alors $\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.$

Démonstration. On a $(uv)' = u'v + uv'$ : la fonction $uv$ est une primitive de la fonction continue $u'v + uv'$ . Donc $\Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b = \int_a^b \big(u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x$ par linéarité. On isole la dernière intégrale.

9.2 Bien choisir $u$ et $v'$

On veut que la nouvelle intégrale soit plus simple que l'ancienne.

Rôle	Ce qu'il faut	Exemples
$u$	se simplifie en dérivant	un polynôme, $\ln x$
$v'$	a une primitive connue	$\mathrm{e}^x$ , $\sin x$ , $\cos x$

Pour $x\,\mathrm{e}^x$ , le choix $u(x) = x$ , $v'(x) = \mathrm{e}^x$ laisse à intégrer $\mathrm{e}^x$ . Le choix $u(x) = \mathrm{e}^x$ , $v'(x) = x$ laisse à intégrer $\dfrac{x^2}{2}\,\mathrm{e}^x$ : c'est pire.

Méthode. On écrit toujours les quatre fonctions $u$ , $u'$ , $v'$ , $v$ avant de calculer.

9.3 Exemples

Exemple 40. $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ . On pose $u(x) = x$ , $u'(x) = 1$ , $v'(x) = \mathrm{e}^x$ , $v(x) = \mathrm{e}^x$ . $\int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[x\,\mathrm{e}^x\Big]_0^1 - \int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1.$

Exemple 41. $\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x$ . On pose $u(x) = x$ , $u'(x) = 1$ , $v'(x) = \sin x$ , $v(x) = -\cos x$ (attention au signe). $\int_0^{\pi} x\sin x\,\mathrm{d}x = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = \pi + 0 = \pi.$

Exemple 42 (une astuce pour $\ln$ ). $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x$ . On écrit $\ln x = \ln x \times 1$ , et on pose $u(x) = \ln x$ , $u'(x) = \dfrac1x$ , $v'(x) = 1$ , $v(x) = x$ . $\int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x = \Big[x\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}} - \int_1^{\mathrm{e}} 1\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1.$ On obtient au passage une primitive de $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$ : $x \mapsto x\ln x - x$ .

Exemple 43 (deux fois de suite). $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ . On pose $u(x) = x^2$ , $u'(x) = 2x$ , $v'(x) = \mathrm{e}^x$ , $v(x) = \mathrm{e}^x$ . $\int_0^1 x^2\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[x^2\,\mathrm{e}^x\Big]_0^1 - 2\int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - 2 \times 1 = \mathrm{e} - 2,$ en utilisant l'exemple 40. Le degré du polynôme baisse de $1$ à chaque intégration par parties.

Exemple 44. $\displaystyle\int_0^1 (2x + 1)\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ . On pose $u(x) = 2x + 1$ , $u'(x) = 2$ , $v'(x) = \mathrm{e}^x$ , $v(x) = \mathrm{e}^x$ . $\int_0^1 (2x + 1)\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[(2x + 1)\,\mathrm{e}^x\Big]_0^1 - 2\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = (3\,\mathrm{e} - 1) - 2(\mathrm{e} - 1) = \mathrm{e} + 1.$

Leçon 10 : Suites d'intégrales

Voir la vidéo de la leçon 10

Une intégrale peut dépendre d'un entier $n$ : on obtient une suite. On peut souvent tout savoir d'elle sans calculer ses termes.

10.1 Sens de variation

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $\displaystyle I_n = \int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x}\,\mathrm{d}x$ . On a $I_0 = \Big[\ln(1 + x)\Big]_0^1 = \ln 2$ .

Sur $[0\,;1]$ , $x^{n+1} \leq x^n$ , donc $\dfrac{x^{n+1}}{1 + x} \leq \dfrac{x^n}{1 + x}$ . On intègre : $I_{n+1} \leq I_n$ . La suite est décroissante.

De plus, $\dfrac{x^n}{1 + x} \geq 0$ sur $[0\,;1]$ , donc $I_n \geq 0$ . La suite est décroissante et minorée par $0$ : elle converge (chapitre 2).

10.2 Limite, par encadrement

Sur $[0\,;1]$ , $1 + x \geq 1$ , donc $0 \leq \dfrac{x^n}{1 + x} \leq x^n$ . On intègre : $0 \leq I_n \leq \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\right]_0^1 = \dfrac{1}{n + 1}.$ D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$ .

10.3 Relation de récurrence, par la linéarité

Par linéarité, $I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \dfrac{x^n + x^{n+1}}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \dfrac{x^n(1 + x)}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{n + 1}.$

On calcule ainsi les termes de proche en proche : $I_1 = 1 - I_0 = 1 - \ln 2$ , puis $I_2 = \dfrac12 - I_1 = \ln 2 - \dfrac12$ , puis $I_3 = \dfrac13 - I_2 = \dfrac56 - \ln 2$ .

10.4 Relation de récurrence, par parties

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $\displaystyle J_n = \int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ .

Dans $J_{n+1}$ , on pose $u(x) = x^{n+1}$ , $u'(x) = (n + 1)\,x^n$ , $v'(x) = \mathrm{e}^x$ , $v(x) = \mathrm{e}^x$ : $J_{n+1} = \Big[x^{n+1}\,\mathrm{e}^x\Big]_0^1 - (n + 1)\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (n + 1)\,J_n.$

Avec $J_0 = \mathrm{e} - 1$ , on trouve $J_1 = 1$ , $J_2 = \mathrm{e} - 2$ , $J_3 = 6 - 2\,\mathrm{e}$ .

Sur $[0\,;1]$ , $\mathrm{e}^x \leq \mathrm{e}$ , donc $0 \leq x^n\,\mathrm{e}^x \leq \mathrm{e}\,x^n$ , et par intégration $0 \leq J_n \leq \dfrac{\mathrm{e}}{n + 1}$ . Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} J_n = 0$ . La relation donne même $(n + 1)\,J_n = \mathrm{e} - J_{n+1}$ , qui tend vers $\mathrm{e}$ : quand $n$ est grand, $J_n$ ressemble à $\dfrac{\mathrm{e}}{n}$ .

10.5 La méthode

Question	Outil
Sens de variation	Comparer les fonctions intégrées, ou étudier le signe de $I_{n+1} - I_n$
Limite	Encadrer la fonction, intégrer, puis théorème des gendarmes
Relation de récurrence	Linéarité, ou intégration par parties en faisant baisser le degré

Leçon 11 : Rectangles, milieux, trapèzes en Python

Voir la vidéo de la leçon 11

Quand on ne connaît pas de primitive explicite, on calcule une valeur approchée de l'intégrale. On découpe $[a\,;b]$ en $n$ morceaux de même largeur $h = \dfrac{b - a}{n}$ , et on note $x_k = a + kh$ .

11.1 Les trois méthodes

Méthode	Sur le morceau $[x_k\,;x_{k+1}]$ , on prend	Valeur approchée
Rectangles à gauche	la hauteur $f(x_k)$	$h\,\big(f(x_0) + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1})\big)$
Rectangles à droite	la hauteur $f(x_{k+1})$	$h\,\big(f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)\big)$
Milieux	la hauteur au milieu, $f\!\left(x_k + \dfrac{h}{2}\right)$	$h\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(x_k + \dfrac{h}{2}\right)$
Trapèzes	la moyenne des deux hauteurs	$h\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f(x_k) + f(x_{k+1})}{2}$

Si $f$ est monotone, les rectangles à gauche et à droite encadrent l'intégrale. La méthode des trapèzes donne exactement la moyenne de ces deux sommes.

11.2 Le programme

def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + f(a + k * h)
    return h * s

Pour les autres méthodes, une seule ligne change, celle qui ajoute la hauteur :

s = s + f(a + (k + 1) * h)                         # rectangles à droite
s = s + f(a + k * h + h / 2)                       # milieux
s = s + (f(a + k * h) + f(a + (k + 1) * h)) / 2    # trapèzes

11.3 Tester sur une intégrale connue

On teste sur $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{\mathrm{d}x}{x} = \ln 2 \approx 0{,}69315$ . La fonction est décroissante : la somme à gauche est au-dessus de $\ln 2$ , la somme à droite en dessous.

$n$	Rectangles à gauche	Rectangles à droite	Milieux	Trapèzes
$10$	$0{,}71877$	$0{,}66877$	$0{,}69284$	$0{,}69377$
$20$	$0{,}70580$	$0{,}68080$	$0{,}69307$	$0{,}69330$
$100$	$0{,}69565$	$0{,}69065$	$0{,}69314$	$0{,}69315$

11.4 Quelle précision ?

On compare l'écart avec $\ln 2$ quand on double $n$ .

Écart avec $\ln 2$	$n = 10$	$n = 20$	Rapport
Rectangles à gauche	$0{,}0256$	$0{,}0127$	environ $2$
Milieux	$0{,}00031$	$0{,}00008$	environ $4$
Trapèzes	$0{,}00062$	$0{,}00016$	environ $4$

On observe, sans le démontrer, que l'écart est à peu près divisé par $2$ pour les rectangles, et par $4$ pour les milieux et les trapèzes. Pour gagner une décimale, il faut environ $10$ fois plus de rectangles, mais un peu plus de $3$ fois plus de trapèzes.

11.5 Une intégrale sans primitive explicite

Exemple 45. Pour $\displaystyle I = \int_0^1 \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ , encadrée à la leçon 6 entre $0{,}63$ et $1$ , la fonction est décroissante sur $[0\,;1]$ . Avec $n = 1000$ , les rectangles donnent $0{,}7465 \leq I \leq 0{,}7472$ , et les milieux $I \approx 0{,}74682$ . Donc $I \approx 0{,}747$ au millième près.

Leçon 12 : La méthode de Monte-Carlo

Voir la vidéo de la leçon 12

12.1 Le principe

Soit $f$ continue sur $[0\,;1]$ , avec $0 \leq f \leq 1$ . Sa courbe reste dans un carré d'aire $1$ . On choisit un point $M(x\,;y)$ au hasard dans ce carré, en tirant $x$ et $y$ au hasard entre $0$ et $1$ . La probabilité que $M$ tombe sous la courbe est le rapport des aires : $P\big(y \leq f(x)\big) = \dfrac{\text{aire sous la courbe}}{1} = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x.$

En répétant l'expérience un grand nombre de fois, la fréquence des points sous la courbe se rapproche de cette probabilité.

12.2 Le programme

from random import random
from math import exp

def f(x):
    return exp(-x ** 2)

def monte_carlo(f, N):
    sous = 0
    for i in range(N):
        x = random()
        y = random()
        if y <= f(x):
            sous = sous + 1
    return sous / N

La fonction random() renvoie un nombre au hasard entre $0$ et $1$ . Le programme renvoie la fréquence des points sous la courbe.

12.3 Une méthode qui fluctue

Voici deux exécutions pour $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$ . Tes résultats seront différents : c'est le hasard.

$N$	Première exécution	Deuxième exécution
$100$	$0{,}78$	$0{,}72$
$1\,000$	$0{,}743$	$0{,}738$
$10\,000$	$0{,}747$	$0{,}7453$
$100\,000$	$0{,}74704$	$0{,}74739$

La leçon 11 a donné $I \approx 0{,}7468$ . On observe que, pour gagner une décimale, il faut environ $100$ fois plus de points. C'est lent, et le résultat n'est jamais garanti. L'explication de cette précision viendra au chapitre 16, avec la loi des grands nombres. L'intérêt de la méthode est ailleurs : il suffit de savoir dire si un point est dans la zone ou non, même pour une aire de forme compliquée.

12.4 Dans un rectangle quelconque

Si $0 \leq f \leq M$ sur $[a\,;b]$ , on enferme la courbe dans un rectangle : on tire $x$ au hasard dans $[a\,;b]$ et $y$ au hasard dans $[0\,;M]$ . La fréquence approche l'intégrale divisée par l'aire du rectangle : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \text{fréquence} \times (b - a)\,M.$

Exemple 46. Pour $f(x) = x^2$ sur $[0\,;2]$ , on prend $M = 4$ . Le rectangle a pour aire $2 \times 4 = 8$ , et $\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac83$ . La fréquence est donc proche de $\dfrac{8/3}{8} = \dfrac13$ .

Leçon 13 : L'algorithme de Brouncker pour $\ln 2$

Voir la vidéo de la leçon 13

Au XVIIe siècle, William Brouncker calcule $\ln 2$ à la main, en découpant l'aire sous une hyperbole. C'est l'un des travaux sur la quadrature de l'hyperbole cités par le programme.

13.1 Le découpage en rectangles

On sait que $\ln 2 = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{\mathrm{d}x}{x}$ . On remplit l'aire sous la courbe par des rectangles.

Un grand rectangle sous la courbe, de base $[1\,;2]$ et de hauteur $\dfrac12$ . Son aire vaut $\dfrac12 = \dfrac{1}{1 \times 2}$ .
On coupe en $\dfrac32$ . Au-dessus du grand rectangle, un rectangle de base $\left[1\,;\dfrac32\right]$ tient sous la courbe, entre les hauteurs $\dfrac12$ et $\dfrac23$ . Son aire vaut $\dfrac12 \times \left(\dfrac23 - \dfrac12\right) = \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3 \times 4}$ .
On recoupe chaque morceau en deux. Deux rectangles de largeur $\dfrac14$ s'ajoutent : $\dfrac14 \times \left(\dfrac45 - \dfrac23\right) = \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{5 \times 6}$ et $\dfrac14 \times \left(\dfrac47 - \dfrac12\right) = \dfrac{1}{56} = \dfrac{1}{7 \times 8}$ .

La règle apparaît : on multiplie deux entiers consécutifs, en partant d'un nombre impair. On pose $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k - 1) \times 2k} = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dots + \dfrac{1}{(2n - 1) \times 2n}.$

13.2 Une somme alternée

Pour tout entier $k \geq 1$ , $\dfrac{1}{(2k - 1) \times 2k} = \dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k}$ . Donc $S_n = 1 - \dfrac12 + \dfrac13 - \dfrac14 + \dots + \dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n}.$

13.3 Pourquoi $S_n$ tend vers $\ln 2$

On reprend la suite $(I_n)$ de la leçon 10 : $I_0 = \ln 2$ , et $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n + 1}$ . Donc $I_0 = 1 - I_1$ , puis $I_1 = \dfrac12 - I_2$ , et ainsi de suite : $\ln 2 = I_0 = 1 - \dfrac12 + I_2 = 1 - \dfrac12 + \dfrac13 - \dfrac14 + I_4 = \dots = S_n + I_{2n}.$

Or $0 \leq I_{2n} \leq \dfrac{1}{2n + 1}$ . Donc $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \dfrac{1}{2n + 1}, \qquad\text{et}\qquad \lim\limits_{n \to +\infty} S_n = \ln 2.$

On sait même où s'arrêter : pour une erreur d'au plus $10^{-3}$ , il suffit de prendre $n = 500$ .

13.4 Le programme

def brouncker(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + 1 / ((2 * k - 1) * (2 * k))
    return s

$n$	$10$	$100$	$1\,000$	$10\,000$
$S_n$	$0{,}66877$	$0{,}69065$	$0{,}69290$	$0{,}69312$

Ces valeurs restent en dessous de $\ln 2 \approx 0{,}69315$ . La convergence est lente : une décimale de plus demande environ $10$ fois plus de termes.

13.5 Le lien avec les rectangles

La valeur $S_{10} \approx 0{,}66877$ est exactement la somme des rectangles à droite de la leçon 11, pour $n = 10$ . Ce n'est pas un hasard : l'exercice 25 montre que $S_n$ est égale à la somme des rectangles à droite à $n$ morceaux, pour tout $n$ . Brouncker faisait donc déjà, à la main, la méthode des rectangles.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

Pour $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$ , $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire sous la courbe, en unités d'aire. Elle se met en regard de la somme de rectangles $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ .
Théorème : $F_a : x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ . Démonstration pour $f$ croissante : on coince une bande étroite entre deux rectangles, puis on applique le théorème des gendarmes.
Pour toute primitive $F$ de $f$ : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, même sans formule explicite. La formule précédente définit l'intégrale sans condition de signe. On a $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$ . Une partie de courbe sous l'axe compte négativement : l'intégrale n'est pas l'aire totale.
Chasles : $\displaystyle\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ . Linéarité : $\displaystyle\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g$ et $\displaystyle\int_a^b kf = k\int_a^b f$ . Positivité : si $a \leq b$ et $f \geq 0$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ (la réciproque est fausse).
Si $a \leq b$ et $f \leq g$ sur $[a\,;b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ . Si $m \leq f \leq M$ , alors $m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f \leq M(b - a)$ . Sans primitive, on compare à une fonction que l'on sait intégrer.
Si $g \leq f$ sur $[a\,;b]$ , l'aire entre les courbes vaut $\displaystyle\int_a^b (f - g)$ . On étudie d'abord le signe de $f - g$ , et on découpe aux points d'intersection.
Valeur moyenne : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ , hauteur du rectangle de même aire. L'intégrale d'une vitesse est une distance, celle d'une puissance est une énergie.
Intégration par parties : $\displaystyle\int_a^b u\,v' = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b u'\,v$ . On prend pour $u$ ce qui se simplifie en dérivant, pour $v'$ ce que l'on sait intégrer.
Une suite d'intégrales s'étudie sans calcul : inégalités pour le sens de variation et l'encadrement, gendarmes pour la limite, linéarité ou intégration par parties pour une relation de récurrence.
Valeurs approchées : rectangles (encadrement si $f$ est monotone), milieux et trapèzes (bien plus précis), Monte-Carlo (fréquence de points sous la courbe, lente et aléatoire), Brouncker pour $\ln 2$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k - 1) \times 2k}$ tend vers $\ln 2$ , avec un écart d'au plus $\dfrac{1}{2n + 1}$ .