Valeur moyenne d'une fonction

8.1 Définition

Prenons $n$ valeurs de $f$, régulièrement réparties sur $[a\,;b]$, avec $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$. Leur moyenne s'écrit $\dfrac1n\sum_{i=1}^{n} f(x_i) = \dfrac{1}{b - a}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x.$ Quand $n$ devient très grand, la somme se rapproche de l'intégrale. D'où la définition.

Définition. Soit $f$ continue sur $[a\,;b]$, avec $a < b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ est le réel $\mu = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

8.2 Un rectangle de même aire

L'égalité s'écrit $\mu\,(b - a) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$. Si $f$ est positive, le rectangle de largeur $b - a$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que le domaine sous la courbe : ce qui dépasse au-dessus de la courbe compense ce qui manque en dessous.

Exemple 35. Valeur moyenne de $x \mapsto x^2$ sur $[0\,;3]$ : $\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 9$, donc $\mu = \dfrac93 = 3$.

Exemple 36. Valeur moyenne de $\sin$ sur $[0\,;\pi]$ : $\mu = \dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}64$. Ce n'est pas $\dfrac12$ : la moyenne dépend de la forme de la courbe, pas seulement de ses valeurs extrêmes.

8.3 Encadrer une valeur moyenne

Propriété. Si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $[a\,;b]$, avec $a < b$, alors $m \leq \mu \leq M$.

En effet, $m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b - a)$, et on divise par $b - a > 0$.

Exemple 37. Sur $[0\,;1]$, $\dfrac12 \leq \dfrac{1}{1 + x^2} \leq 1$. La valeur moyenne de cette fonction est donc comprise entre $\dfrac12$ et $1$.

8.4 Interpréter dans une autre discipline

Quand une grandeur $g(t)$ est la dérivée d'une autre grandeur $G(t)$, l'intégrale $\displaystyle\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t = G(b) - G(a)$ donne la variation de $G$ entre $a$ et $b$.

Exemple 38 (un tramway). Un tramway relie deux stations en $60$ secondes. Sa vitesse, en mètres par seconde, vaut $v(t) = \dfrac{t(60 - t)}{90}$. La distance parcourue vaut $\int_0^{60} v(t)\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{90}\left[30t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right]_0^{60} = 400 \text{ m}.$ La vitesse moyenne vaut $\dfrac{400}{60} = \dfrac{20}{3}$ m/s, soit $24$ km/h. C'est la vitesse constante qui ferait parcourir la même distance dans le même temps.

Exemple 39 (un radiateur). La puissance d'un radiateur baisse pendant quatre heures : $P(t) = 2 - 0{,}25\,t$, en kilowatts, $t$ en heures. L'énergie consommée vaut $\displaystyle\int_0^4 P(t)\,\mathrm{d}t = \Big[2t - 0{,}125\,t^2\Big]_0^4 = 6$ kWh. La puissance moyenne vaut $\dfrac64 = 1{,}5$ kW. À $0{,}25$ euro le kilowattheure, cela coûte $1{,}50$ euro.