Loi binomiale et marche aléatoire en Python

7.1 Calculer la vraie probabilité

Soit $S_n$ une variable de loi $\mathcal{B}(n, p)$ : $E(S_n) = pn$ et $V(S_n) = np(1 - p)$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, avec $\delta = \sqrt{n}$, donne $P\big(\lvert S_n - pn \rvert \geqslant \sqrt{n}\big) \leqslant \frac{np(1 - p)}{n} = p(1 - p).$ Un écart strictement supérieur à $\sqrt{n}$ est aussi un écart supérieur ou égal, donc $P\big(\lvert S_n - pn \rvert > \sqrt{n}\big) \leqslant p(1 - p)$. La borne ne dépend pas de $n$.

La fonction suivante calcule la vraie probabilité, en additionnant les $P(S_n = k)$ pour les $k$ concernés.

from math import comb, sqrt

def proba_ecart(n, p):
    total = 0
    for k in range(n + 1):
        if abs(k - p * n) > sqrt(n):
            total = total + comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
    return total

7.2 Une marche aléatoire

Un pion part de $0$ sur une droite graduée. À chaque étape, il avance ou recule d'une case, avec la probabilité $\dfrac12$. On note $X_i$ son déplacement à l'étape $i$ : $X_i = 1$ ou $X_i = -1$. Alors $E(X_i) = 0$ et $V(X_i) = 1$.

La position après $n$ étapes est $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. Les étapes étant indépendantes : $E(S_n) = 0, \qquad V(S_n) = n, \qquad \sigma(S_n) = \sqrt{n}.$

from random import random

def marche(n):
    x = 0
    positions = [0]
    for i in range(n):
        if random() < 0.5:
            x = x + 1
        else:
            x = x - 1
        positions.append(x)
    return positions

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour chaque $n$ : $P\big(\lvert S_n \rvert \geqslant 2\sqrt{n}\big) \leqslant \dfrac14$.

7.3 La somme et la moyenne

La loi des grands nombres dit que $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ se rapproche de $0$ : le déplacement moyen par étape devient négligeable. Pourtant, la position $S_n$ ne reste pas proche de $0$ : son écart type $\sqrt{n}$ grandit. La moyenne se concentre, la somme s'étale.

Pour $n = 400$ : $P\big(\lvert S_{400} \rvert \geqslant 40\big) \approx 0{,}051$. Sur une simulation de $1\,000$ marches, on a observé une proportion de $0{,}059$. La borne vaut $0{,}25$.