QCM · Chapitre 16

Loi des grands nombres

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20 $E(X) = 10$ et $V(X) = 4$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P\big(\lvert X - 10 \rvert \geqslant 5\big) \leqslant$
$0{,}8$ $0{,}16$ $0{,}4$ $0{,}04$

Voir la réponse

Réponse B. $\dfrac{V(X)}{\delta^2} = \dfrac{4}{25} = 0{,}16$ .
Question 2 sur 20L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique
seulement aux lois binomiales seulement aux lois symétriques à toutes les variables aléatoires du programme seulement si $n$ est grand

Voir la réponse

Réponse C. Elle est universelle : il suffit de connaître l'espérance et la variance.
Question 3 sur 20 $\sigma(X) = 3$ . Alors $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant 9\big) \leqslant$
$\dfrac19$ $\dfrac13$ $\dfrac{1}{81}$ $\dfrac14$

Voir la réponse

Réponse A. $9 = 3\sigma$ , donc la borne vaut $\dfrac{1}{3^2} = \dfrac19$ .
Question 4 sur 20 $E(X) = 50$ et $V(X) = 25$ . Alors $P(40 < X < 60) \geqslant$
$0{,}25$ $0{,}75$ $0{,}5$ $0{,}95$

Voir la réponse

Réponse B. $\delta = 10$ : $1 - \dfrac{25}{100} = 0{,}75$ .
Question 5 sur 20Pour un écart d'au moins $2\sigma$ , la borne de l'inégalité vaut
$0{,}05$ $0{,}5$ $0{,}95$ $0{,}25$

Voir la réponse

Réponse D. $\dfrac{1}{2^2} = 0{,}25$ , alors que la vraie probabilité est souvent proche de $0{,}05$ : l'inégalité est loin d'être optimale.
Question 6 sur 20 $E(X) = 100$ et $V(X) = 64$ . L'inégalité permet d'affirmer que $P(90 < X < 120) \geqslant$
$0{,}36$ $0{,}84$ $0{,}64$ $0{,}96$

Voir la réponse

Réponse A. $]90\,;110[$ est centré en $100$ et contenu dans $]90\,;120[$ : $1 - \dfrac{64}{100} = 0{,}36$ .
Question 7 sur 20 $M_{100}$ est la moyenne d'un échantillon d'une variable d'espérance $\mu$ et de variance $36$ . Alors $P\big(\lvert M_{100} - \mu \rvert \geqslant 2\big) \leqslant$
$0{,}36$ $0{,}9$ $0{,}09$ $0{,}18$

Voir la réponse

Réponse C. $\dfrac{V}{n\,\delta^2} = \dfrac{36}{100 \times 4} = 0{,}09$ .
Question 8 sur 20L'inégalité de concentration s'obtient en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à
chaque variable $X_i$ la somme $S_n$ , de variance $V$ la moyenne $M_n$ , de variance $\dfrac{V}{n}$ la variable $X$

Voir la réponse

Réponse C. $M_n$ a pour espérance $\mu$ et pour variance $\dfrac{V}{n}$ .
Question 9 sur 20Un échantillon de taille $50$ a pour espérance commune $10$ . L'événement $\lvert S_{50} - 500 \rvert \geqslant 100$ est le même que
$\lvert M_{50} - 10 \rvert \geqslant 100$ $\lvert M_{50} - 10 \rvert \geqslant 2$ $\lvert M_{50} - 500 \rvert \geqslant 2$ $\lvert M_{50} - 10 \rvert \geqslant 50$

Voir la réponse

Réponse B. On divise par $n = 50$ : $\dfrac{100}{50} = 2$ .
Question 10 sur 20 $V = 16$ . Pour une précision $\delta = 1$ et un risque $\alpha = 0{,}02$ , il suffit que $n \geqslant$
$800$ $320$ $80$ $1\,600$

Voir la réponse

Réponse A. $\dfrac{V}{\alpha\,\delta^2} = \dfrac{16}{0{,}02} = 800$ .
Question 11 sur 20Pour estimer une proportion inconnue avec une précision de $0{,}05$ et un risque de $0{,}05$ , il suffit que $n \geqslant$
$400$ $1\,000$ $2\,000$ $4\,000$

Voir la réponse

Réponse C. $\dfrac{1}{4\alpha\,\delta^2} = \dfrac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}0025} = 2\,000$ .
Question 12 sur 20Si on divise la précision $\delta$ par $3$ sans changer le risque, la taille donnée par l'inégalité est multipliée par
$3$ $6$ $9$ $27$

Voir la réponse

Réponse C. $n$ est proportionnel à $\dfrac{1}{\delta^2}$ .
Question 13 sur 20La loi des grands nombres dit que
$M_n = \mu$ dès que $n$ est assez grand pour tout $\delta > 0$ , $P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big)$ tend vers $0$ $S_n$ se rapproche de $n\mu$ les résultats suivants compensent les résultats passés

Voir la réponse

Réponse B. Elle parle d'une probabilité d'écart, pour un écart fixé à l'avance.
Question 14 sur 20La démonstration de la loi des grands nombres utilise
l'inégalité de concentration et le théorème des gendarmes seulement la linéarité de l'espérance la formule de la loi binomiale un raisonnement par récurrence

Voir la réponse

Réponse A. Le majorant $\dfrac{V}{n\,\delta^2}$ tend vers $0$ , et la probabilité est positive.
Question 15 sur 20On lance un dé équilibré. Après cinq lancers sans six, la probabilité d'obtenir six au lancer suivant est
plus grande que $\dfrac16$ égale à $\dfrac16$ plus petite que $\dfrac16$ égale à $1$

Voir la réponse

Réponse B. Les lancers sont indépendants : le hasard ne compense pas.
Question 16 sur 20Avec urne une liste de dix nombres, [urne[randint(0, 9)] for i in range(n)] est
une liste de $n$ valeurs tirées au hasard dans urne une liste de $10$ nombres la moyenne d'un échantillon une liste de $n$ entiers de $0$ à $9$

Voir la réponse

Réponse A. Chaque terme est un élément de urne , d'indice tiré au hasard.
Question 17 sur 20On simule $1\,000$ échantillons de taille $400$ d'une variable d'écart type $10$ . L'écart type $s$ des moyennes observées devrait être proche de
$0{,}5$ $10$ $0{,}25$ $0{,}025$

Voir la réponse

Réponse A. $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{10}{20} = 0{,}5$ .
Question 18 sur 20L'inégalité de concentration garantit que la proportion théorique des moyennes à moins de $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ de $\mu$ est au moins
$0{,}95$ $0{,}75$ $0{,}25$ $0{,}5$

Voir la réponse

Réponse B. $1 - \dfrac{1}{2^2} = 0{,}75$ . Les simulations donnent souvent environ $0{,}95$ .
Question 19 sur 20 $S_n$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;0{,}3)$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout $n$ , $P\big(\lvert S_n - 0{,}3n \rvert > \sqrt{n}\big) \leqslant$
$0{,}3$ $0{,}21$ $0{,}09$ $\dfrac{0{,}21}{n}$

Voir la réponse

Réponse B. La borne vaut $p(1 - p) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$ , quel que soit $n$ .
Question 20 sur 20Dans une marche aléatoire de pas $+1$ ou $-1$ , équiprobables, l'écart type de la position après $100$ étapes vaut
$100$ $50$ $10$ $1$

Voir la réponse

Réponse C. $\sigma(S_n) = \sqrt{n} = 10$ .