Choisir la taille d'un échantillon

4.1 La méthode

On fixe deux nombres : la précision $\delta$, l'écart à $\mu$ que l'on accepte, et le risque $\alpha$, la probabilité que l'on accepte de dépasser cet écart. On cherche $n$ tel que $P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \alpha$.

D'après l'inégalité de concentration, il suffit que $\dfrac{V}{n\,\delta^2} \leqslant \alpha$, c'est-à-dire $n \geqslant \frac{V}{\alpha\,\delta^2}.$

Comme $n$ est un entier, on arrondit à l'entier supérieur.

Exemple 8 (retour aux clémentines). On veut la masse moyenne à $2$ grammes près, avec un risque d'au plus $5\,\%$. Avec $V = 81$, $\delta = 2$, $\alpha = 0{,}05$ : $n \geqslant \frac{81}{0{,}05 \times 2^2} = \frac{81}{0{,}2} = 405.$ Il suffit de peser $405$ clémentines.

4.2 Un sondage

On veut estimer une proportion $p$ inconnue. La personne numéro $i$ donne une variable $X_i$ de Bernoulli de paramètre $p$, qui vaut $1$ si elle répond oui et $0$ sinon. On assimile le choix des personnes à un tirage avec remise. Alors $M_n$ est la fréquence $F_n$ des réponses oui, avec $E(X_i) = p$ et $V = p(1 - p)$.

La variance dépend de $p$, justement inconnu. Mais pour tout $p$ de $[0\,;1]$, on a $p(1 - p) \leqslant \dfrac14$ (maximum atteint pour $p = \dfrac12$, chapitre 15). Donc $P\big(\lvert F_n - p \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{p(1 - p)}{n\,\delta^2} \leqslant \frac{1}{4n\,\delta^2}.$

Il suffit alors que $n \geqslant \dfrac{1}{4\alpha\,\delta^2}$.

Exemple 9 (une piste cyclable). Une mairie veut connaître la part $p$ d'habitants favorables à une nouvelle piste cyclable, avec une précision de $0{,}03$ (trois points) et un risque d'au plus $5\,\%$ : $n \geqslant \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}03^2} \approx 5\,555{,}6.$ Il suffit d'interroger $5\,556$ personnes.

4.3 Une condition suffisante, pas nécessaire

Ce nombre suffit, mais il n'est pas nécessaire. Si $p = 0{,}5$, le calcul exact avec la loi binomiale donne $P\big(\lvert F_{1\,068} - 0{,}5 \rvert \geqslant 0{,}03\big) \approx 0{,}047$ : $1\,068$ personnes suffisent déjà. L'inégalité n'est pas optimale.

C'est un raisonnement par condition suffisante : on ne cherche pas la plus petite taille, on cherche une taille qui convient à coup sûr, quel que soit $p$.

4.4 Précision, risque et taille

Comme $n$ est proportionnel à $\dfrac{1}{\alpha\,\delta^2}$ :

• si on divise la précision $\delta$ par $2$, la taille est multipliée par $4$ ;
• si on divise le risque $\alpha$ par $2$, la taille est multipliée par $2$.

Si la taille est imposée, on inverse le calcul. Pour $n = 1\,000$ et $\delta = 0{,}05$, la borne vaut $\dfrac{1}{4 \times 1\,000 \times 0{,}05^2} = 0{,}1$. Pour $n = 1\,000$ et $\alpha = 0{,}05$, il faut $\delta \geqslant \sqrt{\dfrac{1}{4n\alpha}} = \sqrt{0{,}005} \approx 0{,}071$.