L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1.1 L'écart type, unité naturelle d'écart

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$, de variance $V(X)$ et d'écart type $\sigma$. L'écart type mesure la dispersion de $X$ autour de $\mu$ : c'est l'unité naturelle pour parler des écarts. Par construction, il est naturel d'observer des écarts de $X$ à $\mu$ de l'ordre de $\sigma$, en deçà ou au-delà.

Exemple 1 (une laverie). Dans une laverie automatique, le nombre $X$ de machines occupées à midi suit la loi suivante.

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P(X = x)$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}4$	$0{,}2$	$0{,}1$

On trouve $\mu = 2 \times 0{,}1 + 3 \times 0{,}2 + 4 \times 0{,}4 + 5 \times 0{,}2 + 6 \times 0{,}1 = 4$, puis $V(X) = 0{,}1 \times 4 + 0{,}2 \times 1 + 0{,}4 \times 0 + 0{,}2 \times 1 + 0{,}1 \times 4 = 1{,}2,$ et $\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}10$. Un écart de $1$ à l'espérance, de l'ordre de $\sigma$, est tout à fait normal : $P(X = 3 \text{ ou } X = 5) = 0{,}4$.

1.2 L'inégalité

Propriété (inégalité de Bienaymé-Tchebychev). Pour une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$, et quel que soit le réel strictement positif $\delta$ : $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V(X)}{\delta^2}.$

L'événement $\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta$ signifie que $X$ tombe loin de $\mu$ : $X \leqslant \mu - \delta$ ou $X \geqslant \mu + \delta$.

Elle vaut pour toutes les lois, et il suffit de connaître $\mu$ et $V(X)$. On peut donc l'utiliser sans connaître la loi de $X$.

Exemple 2 (vérification). Dans la laverie, prenons $\delta = 2$. L'événement $\lvert X - 4 \rvert \geqslant 2$ est réalisé quand $X = 2$ ou $X = 6$, donc $P\big(\lvert X - 4 \rvert \geqslant 2\big) = 0{,}2$. L'inégalité annonce au plus $\dfrac{1{,}2}{2^2} = 0{,}3$ : c'est bien vrai.

Avec $\delta = 1$, la borne vaut $1{,}2$. Elle dépasse $1$ : l'inégalité est vraie, mais elle ne dit rien.

1.3 Pourquoi elle est vraie

Cette preuve n'est pas exigible. Elle n'est pas dans la liste des démonstrations du programme, mais elle est courte et elle éclaire le résultat.

On note $x_1, \ldots, x_m$ les valeurs de $X$ et $p_1, \ldots, p_m$ leurs probabilités.

• La variance est une somme de termes positifs : $V(X) = \displaystyle\sum_i p_i\,(x_i - \mu)^2$.
• On retire tous les termes où $\lvert x_i - \mu \rvert < \delta$ : la somme diminue.
• Dans les termes qui restent, $(x_i - \mu)^2 \geqslant \delta^2$.

$V(X) \geqslant \sum_{\lvert x_i - \mu \rvert \geqslant \delta} p_i\,(x_i - \mu)^2 \geqslant \sum_{\lvert x_i - \mu \rvert \geqslant \delta} p_i\,\delta^2 = \delta^2\,P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta\big).$

On divise par $\delta^2$, qui est strictement positif.

1.4 Des écarts mesurés en sigma

Prenons $\delta = k\sigma$, avec $k > 0$ (et $\sigma > 0$). La borne devient $\dfrac{\sigma^2}{k^2\sigma^2} = \dfrac{1}{k^2}$ : $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant k\sigma\big) \leqslant \frac{1}{k^2}.$

Pour $k = 1$, la borne ne dit rien : un écart de l'ordre de $\sigma$ n'a rien d'étonnant. En revanche, des écarts de quelques $\sigma$ deviennent improbables.

Exemple 3 (la piscine). Une piscine municipale accueille chaque mercredi un nombre $X$ de nageurs, d'espérance $200$ et d'écart type $15$. On ne connaît pas la loi de $X$. Une journée à $260$ nageurs ou plus est-elle rare ?

On a $V(X) = 225$, et $260 - 200 = 60 = 4\sigma$. Si $X \geqslant 260$, alors $\lvert X - 200 \rvert \geqslant 60$. Donc $P(X \geqslant 260) \leqslant P\big(\lvert X - 200 \rvert \geqslant 60\big) \leqslant \frac{225}{60^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625.$

1.5 Un peu d'histoire

Le mathématicien français Bienaymé (en 1853, publication en 1867) et le mathématicien russe Tchebychev (en 1867) démontrent l'inégalité qui porte leur nom, en parlant de fréquences d'échantillons plutôt que de variables aléatoires.