Variance et écart type

4.1 Même espérance, comportements différents

Exemple 20 (deux jeux). Un second stand propose un autre jeu : on y gagne $2$ ou $4$ euros, avec la probabilité $0{,}5$ pour chaque somme. On note $Y$ ce gain. Alors $E(Y) = 0{,}5 \times 2 + 0{,}5 \times 4 = 3$. Les deux jeux ont la même espérance, mais ils ne se ressemblent pas : avec $Y$, on est toujours proche de $3$ euros, alors qu'avec $X$ on trouve souvent rien, et parfois $10$ euros. L'espérance ne dit rien de cette différence.

4.2 Les écarts à l'espérance

Pour mesurer la dispersion, on regarde les écarts $x_i - E(X)$.

Exemple 21. Pour $X$, les écarts à $3$ valent $-3$, $2$ et $7$. Leur moyenne pondérée est nulle : $0{,}6 \times (-3) + 0{,}2 \times 2 + 0{,}2 \times 7 = -1{,}8 + 0{,}4 + 1{,}4 = 0$. C'est toujours le cas : les écarts positifs compensent les écarts négatifs. On élève donc les écarts au carré, pour qu'ils ne se compensent plus.

4.3 Variance

Définition. La variance de $X$ est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance : $V(X) = p_1\big(x_1 - E(X)\big)^2 + p_2\big(x_2 - E(X)\big)^2 + \cdots + p_n\big(x_n - E(X)\big)^2.$

Exemple 22. Pour $X$, avec $E(X) = 3$ :

$x_i$	$0$	$5$	$10$
$p_i$	$0{,}6$	$0{,}2$	$0{,}2$
$x_i - 3$	$-3$	$2$	$7$
$(x_i - 3)^2$	$9$	$4$	$49$
$p_i (x_i - 3)^2$	$5{,}4$	$0{,}8$	$9{,}8$

En additionnant la dernière ligne, $V(X) = 5{,}4 + 0{,}8 + 9{,}8 = 16$.

4.4 Écart type

Définition. L'écart type de $X$ est la racine carrée de sa variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Une variance est une somme de termes positifs ou nuls : elle est positive ou nulle, et sa racine carrée existe. Si $X$ est en euros, la variance est en euros au carré, ce qui n'a pas de sens concret. L'écart type, lui, est en euros, comme $X$.

Exemple 23. $\sigma(X) = \sqrt{16} = 4$. Pour $Y$ : $V(Y) = 0{,}5 \times (2 - 3)^2 + 0{,}5 \times (4 - 3)^2 = 1$, donc $\sigma(Y) = 1$.

4.5 Interpréter

L'écart type mesure la dispersion de $X$ autour de son espérance. Plus il est grand, plus les valeurs s'éloignent de la moyenne : dans un jeu, il mesure le risque.

Exemple 24. Les deux jeux ont la même espérance, $3$ euros, mais $\sigma(X) = 4$ et $\sigma(Y) = 1$ : le jeu des enveloppes est quatre fois plus dispersé. Un joueur prudent choisira $Y$, un joueur qui aime le risque choisira $X$. Si $X$ ne prend qu'une seule valeur, tous les écarts sont nuls, et $\sigma(X) = 0$.

4.6 Dans une population

Exemple 25. Pour la résidence, $E(X) = 2$, et $V(X) = 0{,}4 \times 1 + 0{,}3 \times 0 + 0{,}2 \times 1 + 0{,}1 \times 4 = 1$. Donc $\sigma(X) = 1$ : c'est l'écart type de la série statistique, calculé avec des proportions.