Variable aléatoire

1.1 Un nombre qui dépend du hasard

Exemple 1 (le jeu des enveloppes). À la fête du quartier, un stand propose une boîte de dix enveloppes fermées : six sont vides, deux contiennent $5$ euros et deux contiennent $10$ euros. On tire une enveloppe au hasard. L'univers est $\Omega = \{e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_{10}\}$, avec les enveloppes vides $e_1$ à $e_6$, les enveloppes de $5$ euros $e_7$ et $e_8$, et celles de $10$ euros $e_9$ et $e_{10}$.

Ce qui intéresse le joueur n'est pas le numéro de l'enveloppe, mais la somme trouvée. On note $X$ cette somme, en euros. Avant le tirage, on ne connaît pas sa valeur : c'est un nombre qui dépend du hasard.

1.2 Définition

Définition. Une variable aléatoire réelle sur l'univers $\Omega$ est une fonction définie sur $\Omega$ et à valeurs réelles : à chaque issue $\omega$, elle associe un nombre réel $X(\omega)$.

Exemple 2. Dans le jeu des enveloppes, $X(e_1) = X(e_2) = \cdots = X(e_6) = 0$, $X(e_7) = X(e_8) = 5$ et $X(e_9) = X(e_{10}) = 10$. La variable $X$ prend trois valeurs : $0$, $5$ et $10$. Plusieurs issues peuvent donner la même valeur : une fonction le permet, et c'est très fréquent ici.

Le nom est trompeur : une variable aléatoire est une fonction, parfaitement déterminée. Ce qui est aléatoire, c'est l'issue obtenue.

1.3 Plusieurs variables sur un même univers

Sur un même univers, on peut définir autant de variables que l'on veut.

Exemple 3. Le stand demande une participation de $4$ euros. Le gain net du joueur est $G = X - 4$. Pour chaque issue, $G(\omega) = X(\omega) - 4$. La variable $G$ prend les valeurs $-4$, $1$ et $6$ : une variable aléatoire peut être négative. On peut aussi définir $Y$, qui vaut $1$ si l'enveloppe n'est pas vide et $0$ sinon.

1.4 Modéliser en trois étapes

1. Décrire l'expérience et son univers.
2. Dire ce que mesure la variable : à chaque issue, quel nombre ?
3. Lister les valeurs possibles.

Exemple 4 (deux pièces). On lance deux pièces et on note $X$ le nombre de « pile » obtenus. L'univers est $\Omega = \{PP\,;PF\,;FP\,;FF\}$, en notant dans l'ordre le résultat de chaque pièce. On a $X(PP) = 2$, $X(PF) = X(FP) = 1$ et $X(FF) = 0$. Les valeurs possibles sont $0$, $1$ et $2$.

Exemple 5 (tirer au sort dans un groupe). On tire au sort un élève d'une classe de $30$ élèves et on note $T$ son temps de trajet, en minutes. L'univers est l'ensemble des $30$ élèves. La variable $T$ associe à chaque élève son temps de trajet.

1.5 Ce qui n'est pas une variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle prend des valeurs numériques.

Exemple 6. On choisit une voiture au hasard sur un parking et on note sa couleur : ce n'est pas un nombre, donc ce n'est pas une variable aléatoire réelle. En revanche, on peut poser $Z = 1$ si la voiture est rouge et $Z = 0$ sinon : $Z$ est une variable aléatoire réelle. Le nombre de portes de la voiture en est une aussi.