Devoir sur 20 : Variables aléatoires réelles

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Pour les questions 1 à 4, $X$ suit la loi suivante.

$x_i$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$P(X = x_i)$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}4$	$a$

Donner $a$ .
Donner $P(X \leq 0)$ .
Donner $P(X > 0)$ .
Donner $E(X)$ .
On sait que $E(Y) = 4$ . Donner $E(3Y - 2)$ .
On sait que $E(T) = 3$ et $E(T^2) = 13$ . Donner $\sigma(T)$ .

Exercice 1 (7 points)

Au comice agricole, un jeu de lancer d'anneaux se joue en deux temps. On lance d'abord un anneau sur une quille proche : on réussit avec la probabilité $0{,}5$ . En cas d'échec, le jeu s'arrête et le joueur ne reçoit rien. En cas de réussite, on lance un anneau sur une quille éloignée : on réussit avec la probabilité $0{,}4$ . Le joueur reçoit alors $10$ euros s'il réussit, et $2$ euros s'il échoue. On note $X$ la somme reçue, en euros.

Dessiner un arbre pondéré de cette expérience. (1,5 point)
Déterminer la loi de $X$ . (1,5 point)
Calculer $E(X)$ et interpréter ce nombre. (1 point)
Une partie coûte $3$ euros. On note $G$ le gain net du joueur. Calculer $E(G)$ . Le jeu est-il équitable ? (1 point)
La partie coûte toujours $3$ euros. Quelle somme faudrait-il offrir à la place des $10$ euros pour que le jeu soit équitable ? (1 point)
Calculer $V(X)$ avec la formule de König-Huygens, puis $\sigma(X)$ . (1 point)

Exercice 2 (5 points)

Une loueuse de paddles a relevé, sur $50$ jours d'été, le nombre de paddles loués par jour.

Paddles loués	$2$	$3$	$4$	$5$
Nombre de jours	$5$	$15$	$20$	$10$

On choisit un de ces jours au hasard, et on note $X$ le nombre de paddles loués.

Donner la loi de $X$ . (1 point)
Calculer $P(X \geq 4)$ et interpréter ce nombre par une phrase. (0,5 point)
Calculer $E(X)$ . Que représente ce nombre pour la série ? (1 point)
Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ . (1 point)
Un paddle loué rapporte $15$ euros, et une journée coûte $20$ euros de frais. La recette nette est $R = 15X - 20$ . Calculer $E(R)$ . (0,75 point)
Dire ce que renvoie l'appel f([2, 3, 4, 5], [0.1, 0.3, 0.4, 0.2], 4), et ce que calcule la fonction f en général. (0,75 point)

def f(valeurs, probas, a):
    s = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        if valeurs[i] >= a:
            s = s + probas[i]
    return s

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $a = 1 - (0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}4) = 0{,}1$ .
(1 pt) $P(X \leq 0) = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5$ .
(1 pt) $P(X > 0) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$ .
(1 pt) $E(X) = -0{,}2 + 0 + 0{,}8 + 0{,}5 = 1{,}1$ .
(1 pt) $E(3Y - 2) = 3 \times 4 - 2 = 10$ .
(1 pt) $V(T) = 13 - 9 = 4$ , donc $\sigma(T) = 2$ .

Exercice 1

1. (1,5 pt) Au premier niveau, la réussite porte $0{,}5$ et l'échec $0{,}5$ . Depuis la réussite, le second niveau porte $0{,}4$ pour la réussite et $0{,}6$ pour l'échec. Depuis l'échec du premier lancer, le jeu s'arrête : aucune branche ne part de ce point.

2. (1,5 pt) $P(X = 0) = 0{,}5$ , $P(X = 2) = 0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}3$ et $P(X = 10) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$ . La somme vaut $1$ .

3. (1 pt) $E(X) = 0{,}3 \times 2 + 0{,}2 \times 10 = 0{,}6 + 2 = 2{,}6$ . Sur un grand nombre de parties, un joueur reçoit en moyenne $2{,}6$ euros par partie.

4. (1 pt) $G = X - 3$ , donc $E(G) = 2{,}6 - 3 = -0{,}4$ . L'espérance n'est pas nulle : le jeu n'est pas équitable, il est défavorable au joueur.

5. (1 pt) Avec une somme $a$ à la place des $10$ euros, $E(X) = 0{,}6 + 0{,}2\,a$ . L'équation $0{,}6 + 0{,}2\,a = 3$ donne $a = 12$ . Il faudrait offrir $12$ euros.

6. (1 pt) $E(X^2) = 0{,}3 \times 4 + 0{,}2 \times 100 = 21{,}2$ , donc $V(X) = 21{,}2 - 2{,}6^2 = 21{,}2 - 6{,}76 = 14{,}44$ . Or $3{,}8^2 = 14{,}44$ , donc $\sigma(X) = 3{,}8$ .

Exercice 2

1. (1 pt) On divise les effectifs par $50$ : $P(X = 2) = 0{,}1$ , $P(X = 3) = 0{,}3$ , $P(X = 4) = 0{,}4$ et $P(X = 5) = 0{,}2$ .

2. (0,5 pt) $P(X \geq 4) = 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6$ : $60\,\%$ des jours, au moins quatre paddles sont loués.

3. (1 pt) $E(X) = 0{,}2 + 0{,}9 + 1{,}6 + 1 = 3{,}7$ . C'est le nombre moyen de paddles loués par jour sur ces $50$ jours.

4. (1 pt) $E(X^2) = 0{,}4 + 2{,}7 + 6{,}4 + 5 = 14{,}5$ , donc $V(X) = 14{,}5 - 3{,}7^2 = 14{,}5 - 13{,}69 = 0{,}81$ et $\sigma(X) = 0{,}9$ .

5. (0,75 pt) $E(R) = 15 \times 3{,}7 - 20 = 55{,}5 - 20 = 35{,}5$ euros.

6. (0,75 pt) La fonction additionne les probabilités des valeurs supérieures ou égales à $a$ : elle calcule $P(X \geq a)$ . L'appel renvoie $0{,}6$ (à un arrondi près), soit le résultat de la question 2.

Maîtrise de la langue (2 points)

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : une phrase de conclusion à chaque question ; les mots justes (espérance, écart type, équitable, gain net) ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit).