Notations et loi de probabilité

2.1 L'évènement {X = a}

Pour un réel $a$, on note $\{X = a\}$ l'ensemble des issues pour lesquelles $X$ vaut $a$. C'est un évènement, et sa probabilité se note $P(X = a)$.

Exemple 7. Dans le jeu des enveloppes, $\{X = 5\} = \{e_7\,;e_8\}$, donc $P(X = 5) = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$. De même, $P(X = 0) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$. Enfin, $\{X = 3\} = \varnothing$ : aucune enveloppe ne contient $3$ euros, donc $P(X = 3) = 0$.

2.2 L'évènement {X ≤ a}

On note $\{X \leq a\}$ l'ensemble des issues pour lesquelles $X$ est inférieure ou égale à $a$, et $P(X \leq a)$ sa probabilité.

Exemple 8. $\{X \leq 5\} = \{e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_8\}$, donc $P(X \leq 5) = 0{,}8$. On obtient aussi cette valeur par addition : $P(X \leq 5) = P(X = 0) + P(X = 5) = 0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8$. On a de même $P(X \leq 7) = 0{,}8$, car aucune enveloppe ne contient entre $5$ et $7$ euros.

2.3 De la phrase au symbole

Attention. « Au moins $5$ » contient la valeur $5$, « plus de $5$ » ne la contient pas. Dans le jeu des enveloppes, $P(X \geq 5) = 0{,}4$ et $P(X > 5) = 0{,}2$.

Exemple 9. Traduis dans les deux sens. « Le joueur trouve au moins $5$ euros » s'écrit $\{X \geq 5\}$. Et $P(X < 10) = 0{,}8$ se lit : « la probabilité de trouver moins de $10$ euros est de $0{,}8$ ».

2.4 Le contraire

Le contraire de $\{X \leq a\}$ est $\{X > a\}$. Donc $P(X > a) = 1 - P(X \leq a)$.

Exemple 10. $P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$. Le contraire de « au plus $5$ » est bien « plus de $5$ », et non « au moins $5$ ».

2.5 Loi de probabilité

Définition. La loi de probabilité de $X$ est la donnée, pour chaque valeur $x_i$ prise par $X$, de la probabilité $p_i = P(X = x_i)$. On la présente dans un tableau. La somme des $p_i$ vaut $1$.

Exemple 11. La loi de la somme trouvée dans une enveloppe est la suivante.

$x_i$	$0$	$5$	$10$
$P(X = x_i)$	$0{,}6$	$0{,}2$	$0{,}2$

On vérifie : $0{,}6 + 0{,}2 + 0{,}2 = 1$. On peut représenter cette loi par un diagramme en bâtons, avec un bâton de hauteur $p_i$ au-dessus de chaque valeur $x_i$.

Automatisme. Dès qu'une loi est écrite, vérifie de tête que la somme des probabilités vaut $1$. S'il manque une valeur dans le tableau, c'est ainsi qu'on la trouve.

2.6 Déterminer une loi

Trois étapes : lister les valeurs de $X$, calculer la probabilité de chaque évènement $\{X = x_i\}$, puis vérifier que la somme vaut $1$. Quand l'expérience se déroule en plusieurs temps, on dessine un arbre pondéré.

Exemple 12 (l'archère). Une archère tire deux flèches. À chaque tir, elle touche la cible avec la probabilité $0{,}8$, et on suppose les tirs indépendants : c'est une hypothèse du modèle. On note $X$ le nombre de flèches dans la cible. L'arbre a quatre chemins, et chacun donne une valeur de $X$.

• Deux tirs réussis : $X = 2$, avec la probabilité $0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}64$.
• Un seul tir réussi : deux chemins, de probabilité $0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16$ chacun, donc $P(X = 1) = 0{,}32$.
• Aucun tir réussi : $X = 0$, avec la probabilité $0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04$.

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x_i)$	$0{,}04$	$0{,}32$	$0{,}64$

La somme vaut bien $1$. La probabilité qu'au plus une flèche touche la cible est $P(X \leq 1) = 0{,}04 + 0{,}32 = 0{,}36$.

Exemple 13. Pour les deux pièces, les quatre issues sont équiprobables : $P(X = 0) = \dfrac14$, $P(X = 1) = \dfrac24 = \dfrac12$ et $P(X = 2) = \dfrac14$.