Espérance, lien avec la moyenne

3.1 L'idée : une moyenne sur un grand nombre de parties

Exemple 14. Imagine $1\,000$ parties du jeu des enveloppes, avec exactement les proportions de la loi : $600$ enveloppes vides, $200$ de $5$ euros et $200$ de $10$ euros. La somme totale vaut $600 \times 0 + 200 \times 5 + 200 \times 10 = 3\,000$ euros, soit $3$ euros par partie. On a calculé une moyenne pondérée, et les proportions jouent le rôle des coefficients.

3.2 Définition

Définition. Si $X$ prend les valeurs $x_1$, …, $x_n$ avec les probabilités $p_1$, …, $p_n$, l'espérance de $X$ est le nombre $E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n.$

On peut l'écrire avec le symbole somme : $E(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i x_i$.

Exemple 15. Pour le jeu des enveloppes : $E(X) = 0{,}6 \times 0 + 0{,}2 \times 5 + 0{,}2 \times 10 = 0 + 1 + 2 = 3$.

Exemple 16. Pour l'archère : $E(X) = 0{,}04 \times 0 + 0{,}32 \times 1 + 0{,}64 \times 2 = 0{,}32 + 1{,}28 = 1{,}6$.

3.3 Interpréter

L'espérance est la valeur moyenne de $X$ dans le modèle. Sur un très grand nombre de répétitions, la moyenne des valeurs obtenues est proche de $E(X)$.

Ce n'est pas forcément une valeur prise par $X$ : aucune enveloppe ne contient $3$ euros, et l'archère ne plante jamais $1{,}6$ flèche. L'espérance a la même unité que $X$.

3.4 Rappels de statistiques

Automatisme. Une série statistique se lit sur un tableau ou un diagramme en barres : repère d'abord les graduations des axes. Sa moyenne est la somme des valeurs, divisée par l'effectif total. La médiane partage la série ordonnée en deux parties de même effectif. Le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$ sont les plus petites valeurs de la série telles qu'au moins $25\,\%$, et au moins $75\,\%$, des valeurs leur soient inférieures ou égales.

Exemple 17 (une résidence). Une résidence compte $20$ logements. On relève le nombre d'occupants de chacun.

Occupants	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif	$8$	$6$	$4$	$2$

La moyenne vaut $\dfrac{8 \times 1 + 6 \times 2 + 4 \times 3 + 2 \times 4}{20} = \dfrac{40}{20} = 2$. Dans la série ordonnée, les dixième et onzième valeurs valent $2$ : la médiane vaut $2$. La cinquième valeur donne $Q_1 = 1$, et la quinzième donne $Q_3 = 3$.

3.5 Une population vue comme une expérience aléatoire

On peut étudier une population avec des probabilités : on tire au sort un individu, avec équiprobabilité. Une proportion devient alors une probabilité.

Exemple 18. On tire au hasard un logement de la résidence, et on note $X$ son nombre d'occupants. Les effectifs divisés par $20$ donnent la loi de $X$.

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X = x_i)$	$0{,}4$	$0{,}3$	$0{,}2$	$0{,}1$

Alors $E(X) = 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 + 0{,}4 = 2$ : on retrouve la moyenne de la série. C'est le même calcul, écrit avec des proportions : l'espérance de $X$ est la moyenne de la population.

3.6 Le dictionnaire entre statistique et probabilités

Exemple 19. Parmi les logements occupés par au moins deux personnes, soit $12$ logements, la proportion de logements de quatre occupants vaut $\dfrac{2}{12} = \dfrac16$. Avec les probabilités, c'est $P_{\{X \geq 2\}}(X = 4) = \dfrac{0{,}1}{0{,}6} = \dfrac16$.