Python : termes, sommes et factorielle

Les listes, les boucles et les fonctions ont été revues au chapitre 2. Ici, on les met au service des suites.

8.1 Calculer un terme

Pour une suite arithmétique, on part de $u_0$ et on ajoute $n$ fois la raison. En langage naturel, on écrit $u \leftarrow u + r$.

def terme_arith(u0, r, n):
    u = u0
    for k in range(n):
        u = u + r
    return u

>>> terme_arith(7, 3, 10)
37

On vérifie avec la formule : $u_{10} = 7 + 10 \times 3 = 37$.

Pour une suite géométrique, une seule ligne change : on multiplie au lieu d'ajouter.

def terme_geo(u0, q, n):
    u = u0
    for k in range(n):
        u = q * u
    return u

>>> terme_geo(3, 2, 5)
96
>>> 3 * 2**5
96

En Python, la puissance s'écrit **.

8.2 La liste des termes

>>> [7 + 3*n for n in range(6)]
[7, 10, 13, 16, 19, 22]
>>> [3 * 2**n for n in range(6)]
[3, 6, 12, 24, 48, 96]

8.3 Calculer une somme

Pour une somme, on utilise un accumulateur : une variable qui vaut $0$ au départ, et à laquelle on ajoute chaque terme.

def somme_entiers(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + k
    return s

>>> somme_entiers(100)
5050
>>> 100 * 101 // 2
5050

Attention. Dans range(1, n + 1), la borne de droite est exclue : $k$ va de $1$ à $n$. La division entière // donne un résultat entier.

8.4 Découper en fonctions

Un bon programme se découpe en petites fonctions, chacune chargée d'une seule tâche. C'est la programmation modulaire.

def termes(u0, q, n):
    return [u0 * q**k for k in range(n + 1)]

def somme(L):
    s = 0
    for x in L:
        s = s + x
    return s

>>> somme(termes(2, 3, 5))
728

C'est bien $2 \times \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3} = 728$. La fonction somme resservira pour n'importe quelle liste.

8.5 La factorielle

Définition. Pour tout entier naturel $n$ non nul, la factorielle de $n$ est le produit des entiers de $1$ à $n$ : $n! = 1 \times 2 \times \ldots \times n.$ Par convention, $0! = 1$.

Exemple 26. $5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.

def fact(n):
    p = 1
    for k in range(1, n + 1):
        p = p * k
    return p

>>> fact(5)
120
>>> fact(10)
3628800

Attention. Pour un produit, la variable vaut $1$ au départ, et non $0$ : sinon, le résultat serait toujours nul.