Devoir sur 20 : Suites arithmétiques et géométriques

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

La suite $(u_n)$ est arithmétique, avec $u_0 = 5$ et $r = 3$ . Calculer $u_{10}$ .
La suite $(v_n)$ est géométrique, avec $v_0 = 3$ et $q = 2$ . Calculer $v_4$ .
Calculer $1 + 2 + \ldots + 20$ .
La suite $u_n = 4 \times 0{,}5^n$ est-elle croissante ou décroissante ?
Quel est le taux d'évolution global d'une hausse de $20\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ ?
Après une baisse de $20\,\%$ , un prix vaut $48$ euros. Quel était le prix initial ?

Exercice 1 : planter des arbres (6 points)

Deux communes plantent des arbres. La première année, chacune en plante $200$ .

La commune A plante ensuite, chaque année, $30$ arbres de plus que l'année précédente.
La commune B plante ensuite, chaque année, $10\,\%$ d'arbres de plus que l'année précédente.

On note $a_n$ et $b_n$ les nombres d'arbres plantés l'année numéro $n$ , pour $n \geq 1$ . Aide au calcul : $1{,}1^9 \approx 2{,}36$ et $1{,}1^{10} \approx 2{,}59$ .

Calculer $a_2$ , $a_3$ , $b_2$ et $b_3$ . (1 point)
Préciser la nature de chaque suite, puis exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ . (1,5 point)
Comparer les plantations de la dixième année. (1 point)
Calculer le nombre total d'arbres plantés par chaque commune en dix ans. (2 points)
Laquelle des deux communes a planté le plus d'arbres en dix ans ? Si les deux programmes continuaient très longtemps, laquelle finirait par planter le plus d'arbres chaque année ? Justifier. (0,5 point)

Exercice 2 : réduire les déchets (6 points)

Une usine a produit $800$ tonnes de déchets en 2026. Elle veut réduire ce tonnage de $25\,\%$ par an. On note $d_n$ le tonnage de l'année $2026 + n$ .

Calculer $d_1$ et $d_2$ . (1 point)
Justifier que $(d_n)$ est une suite géométrique, puis exprimer $d_n$ en fonction de $n$ . (1 point)
Donner le sens de variation de la suite, et conjecturer sa limite. (1 point)
Démontrer que, pour tout réel $q \neq 1$ , $1 + q + q^2 + q^3 = \dfrac{1 - q^4}{1 - q}$ . En déduire le tonnage total des années 2026 à 2029. Aide au calcul : $0{,}75^4 = 0{,}31640625$ . (1,5 point)

On considère la fonction Python suivante.

def seuil(s):
    n = 0
    d = 800
    while d >= s:
        d = 0.75 * d
        n = n + 1
    return n

Que renvoie seuil(300) ? Interpréter ce résultat. (1,5 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $u_{10} = 5 + 10 \times 3 = 35$ .
(1 pt) $v_4 = 3 \times 2^4 = 48$ .
(1 pt) $\dfrac{20 \times 21}{2} = 210$ .
(1 pt) Décroissante : $u_0 > 0$ et $0 < q < 1$ .
(1 pt) $1{,}2 \times 0{,}9 = 1{,}08$ : c'est une hausse de $8\,\%$ .
(1 pt) $\dfrac{48}{0{,}8} = 60$ euros.

Exercice 1

1. (1 pt) $a_2 = 230$ , $a_3 = 260$ , $b_2 = 200 \times 1{,}1 = 220$ et $b_3 = 220 \times 1{,}1 = 242$ .

2. (1,5 pt) La commune A ajoute chaque année le même nombre d'arbres : $(a_n)$ est arithmétique, de premier terme $200$ et de raison $30$ . Donc $a_n = 200 + 30(n - 1)$ . La commune B applique un taux constant : $(b_n)$ est géométrique, de premier terme $200$ et de raison $1{,}1$ . Donc $b_n = 200 \times 1{,}1^{n-1}$ .

3. (1 pt) $a_{10} = 200 + 30 \times 9 = 470$ et $b_{10} = 200 \times 1{,}1^9 \approx 200 \times 2{,}36 = 472$ . La dixième année, les deux plantations sont presque égales.

4. (2 pts) Pour A : $\dfrac{10 \times (200 + 470)}{2} = 3\,350$ arbres. Pour B : $200 \times \dfrac{1 - 1{,}1^{10}}{1 - 1{,}1} \approx 200 \times \dfrac{1{,}59}{0{,}1} = 3\,180$ arbres.

5. (0,5 pt) En dix ans, la commune A a planté le plus d'arbres. Mais à long terme, la croissance exponentielle l'emporte sur la croissance linéaire : la commune B finirait par planter le plus d'arbres chaque année.

Exercice 2

1. (1 pt) Baisser de $25\,\%$ , c'est multiplier par $0{,}75$ . Donc $d_1 = 600$ et $d_2 = 450$ .

2. (1 pt) Le taux est constant : $(d_n)$ est une suite géométrique, de premier terme $800$ et de raison $0{,}75$ . Donc $d_n = 800 \times 0{,}75^n$ .

3. (1 pt) Comme $d_0 > 0$ et $0 < 0{,}75 < 1$ , la suite est strictement décroissante. Elle semble tendre vers $0$ .

4. (1,5 pt) Soit $S = 1 + q + q^2 + q^3$ . Alors $qS = q + q^2 + q^3 + q^4$ . En soustrayant, $S - qS = 1 - q^4$ , soit $(1 - q)\,S = 1 - q^4$ . Comme $q \neq 1$ , on obtient $S = \dfrac{1 - q^4}{1 - q}$ . Le tonnage total vaut donc $800 \times \frac{1 - 0{,}75^4}{1 - 0{,}75} = 800 \times \frac{0{,}68359375}{0{,}25} = 2\,187{,}5 \text{ tonnes.}$

5. (1,5 pt) d prend les valeurs $800$ , $600$ , $450$ , $337{,}5$ et $253{,}125$ . La boucle s'arrête quand d passe sous $300$ , et seuil(300) renvoie $4$ . Le tonnage passe sous $300$ tonnes en $2026 + 4$ , soit en 2030.

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : une phrase de conclusion à chaque question des exercices, avec l'unité ; les mots justes (raison, terme général, taux, suite arithmétique, suite géométrique) ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit).