Modéliser : croissance linéaire ou exponentielle

7.1 Ajouter ou multiplier ?

La première question est : que reste-t-il constant ?

Sur un tableau de valeurs, on compare les différences, puis les rapports.

Exemple 22. Pour $200$, $230$, $260$, les différences valent $30$ : modèle arithmétique. Pour $200$, $220$, $242$, les rapports valent $1{,}1$ : modèle géométrique.

Automatisme. « Ajouter $30$ » est une formulation additive. « Multiplier par $1{,}1$ » est une formulation multiplicative. Une même évolution peut se dire des deux façons sur une seule étape : passer de $200$ à $220$, c'est ajouter $20$, ou multiplier par $1{,}1$.

7.2 Évolution et actualisation d'un capital

On place $5\,000$ € au taux annuel de $2\,\%$.

• Intérêts simples : chaque année, on ajoute $2\,\%$ du capital de départ, soit $100$ €. Le capital est $C_n = 5\,000 + 100n$ : suite arithmétique.
• Intérêts composés : les intérêts rapportent à leur tour. Chaque année, on multiplie par $1{,}02$. Le capital est $D_n = 5\,000 \times 1{,}02^n$ : suite géométrique.

Exemple 23 (actualiser). Actualiser, c'est remonter le temps. Pour disposer de $5\,202$ € dans deux ans à ce même taux, il faut placer aujourd'hui $\frac{5\,202}{1{,}02^2} = \frac{5\,202}{1{,}0404} = 5\,000,$ soit $5\,000$ €.

7.3 Évolution d'une population

Exemple 24 (des chamois). Dans un massif, on compte $400$ chamois, et on estime que leur nombre augmente de $10\,\%$ par an. Le taux est constant : $P_n = 400 \times 1{,}1^n$. On trouve $P_1 = 440$, $P_2 = 484$ et, avec $1{,}1^{10} \approx 2{,}594$, environ $1\,037$ chamois au bout de dix ans.

Un modèle a des limites : le massif ne pourra pas nourrir un nombre de chamois qui grandit sans fin.

7.4 Décroissance radioactive

Exemple 25 (l'iode 131). La quantité d'iode 131 est divisée par deux en huit jours environ. On part de $64$ mg, et on note $N_n$ la quantité au bout de $n$ périodes de huit jours. La suite est géométrique, de raison $\dfrac12$ : $N_n = 64 \times \left(\frac12\right)^n.$ Quarante jours font cinq périodes : $N_5 = 64 \times \dfrac{1}{32} = 2$. Il reste $2$ mg.

Attention. Ici, $n$ compte des périodes, pas des jours.

7.5 Deux croissances comparées

Soient $u_n = 20 + 10n$, une croissance linéaire, et $v_n = 2^n$, une croissance exponentielle.

Au début, $u_n$ est loin devant. Mais à partir du rang $7$, $v_n$ passe au-dessus. Une suite géométrique à termes positifs, de raison supérieure à $1$, finit toujours par dépasser une suite arithmétique, même si elle part de très bas. On admet ce résultat.

7.6 Le lien avec la fonction exponentielle

Pourquoi le mot exponentielle ? Parce que la variable $n$ est en exposant. Une suite géométrique décrit une évolution observée à intervalles réguliers : c'est le temps discret. Au chapitre 11, la fonction exponentielle décrira une évolution de ce type à chaque instant : c'est le temps continu.

7.7 La méthode

1. Définir la suite : que mesurent $n$ et $u_n$ ?
2. Regarder une étape : on ajoute, ou on multiplie ?
3. Écrire le premier terme, la raison et le terme général.
4. Répondre à la question, avec l'unité, puis juger le modèle.