Suites géométriques

4.1 Multiplier toujours par le même nombre

Une feuille de papier a une épaisseur de $0{,}1$ mm. Chaque pli double l'épaisseur. On note $e_n$ l'épaisseur, en millimètres, après $n$ plis.

Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par $2$ : pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1} = 2 \times e_n$.

4.2 Définition

Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = q \times u_n.$ Le nombre $q$ s'appelle la raison de la suite.

Dans ce chapitre, sauf mention contraire, $q$ et le premier terme ne sont pas nuls. Sinon, tous les termes sont nuls à partir d'un certain rang, et la suite ne présente pas d'intérêt.

4.3 Reconnaître une suite géométrique

Si les termes ne sont pas nuls, on calcule le rapport de deux termes consécutifs $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. S'il ne dépend pas de $n$, la suite est géométrique, et ce rapport est sa raison.

Exemple 12. Soit $u_n = 3 \times 2^n$. Tous les termes sont strictement positifs, et pour tout entier naturel $n$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 2^{n+1}}{3 \times 2^n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2.$ La suite est géométrique, de raison $2$ et de premier terme $u_0 = 3$.

Exemple 13. Soit $v_n = n^2 + 1$. On a $v_0 = 1$, $v_1 = 2$, $v_2 = 5$ et $v_3 = 10$. Comme $\dfrac{v_1}{v_0} = 2$ et $\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac52$, la suite n'est pas géométrique. Elle n'est pas arithmétique non plus : ses différences valent $1$, puis $3$. Beaucoup de suites n'appartiennent à aucune des deux familles.

4.4 Évolutions à taux constant

Automatisme. Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$. Baisser de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$. Ce nombre est le coefficient multiplicateur.

À automatiser : une évolution à taux fixe est modélisée par une suite géométrique.

Exemple 14 (un loyer). Un loyer de $800$ € augmente de $2\,\%$ par an. Le loyer au bout de $n$ années est une suite géométrique de premier terme $L_0 = 800$ et de raison $1{,}02$. On trouve $L_1 = 816$ et $L_2 = 816 \times 1{,}02 = 832{,}32$.

Exemple 15 (un téléphone). Un téléphone de $600$ € perd $20\,\%$ de sa valeur par an. Sa valeur est une suite géométrique de premier terme $V_0 = 600$ et de raison $0{,}8$. On trouve $V_1 = 480$ et $V_2 = 384$.

4.5 Évolutions successives et taux réciproque

Quand les évolutions s'enchaînent, les pourcentages ne s'ajoutent pas : les coefficients se multiplient.

Automatisme (évolutions successives).

• Une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ : $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$. C'est une baisse de $1\,\%$.
• Deux hausses de $2\,\%$ : $1{,}02^2 = 1{,}0404$. C'est une hausse de $4{,}04\,\%$, et non de $4\,\%$.

Automatisme (taux réciproque). Après une hausse de $25\,\%$, on revient au départ en divisant par $1{,}25$, c'est-à-dire en multipliant par $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$. Il faut donc une baisse de $20\,\%$, et non de $25\,\%$.

Automatisme (valeur initiale). Un prix vaut $96$ € après une hausse de $20\,\%$. Il valait $\dfrac{96}{1{,}2} = 80$ €.

Automatisme (calculer un taux). Une grandeur passe de $50$ à $65$. Le taux d'évolution vaut $\dfrac{65 - 50}{50} = 0{,}3$, soit une hausse de $30\,\%$.