Somme des entiers et somme de termes consécutifs

3.1 L'idée en image

Un forestier empile des rondins : un au sommet, puis deux, puis trois, jusqu'à douze à la base. Pour les compter, regardons un cas plus petit, $S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$.

Dessinons un escalier : $1$ rond dans la première colonne, $2$ dans la deuxième, jusqu'à $5$. Une copie de cet escalier, retournée d'un demi-tour, s'emboîte contre le premier. On obtient un rectangle de $5$ colonnes et $6$ lignes, soit $30$ ronds. Il contient deux fois $S$ : donc $2S = 30$ et $S = 15$.

3.2 La formule

Propriété. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.$

Démonstration. Notons $S_n$ cette somme, et écrivons-la dans les deux sens. $S_n = 1 + 2 + \ldots + (n - 1) + n$ $S_n = n + (n - 1) + \ldots + 2 + 1$ Additionnons membre à membre, colonne par colonne. Chaque colonne vaut $n + 1$, et il y a $n$ colonnes. Donc $2S_n = n(n + 1)$, et $S_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.

Exemple 9.

• Pour les rondins : $1 + 2 + \ldots + 12 = \dfrac{12 \times 13}{2} = 78$.
• $1 + 2 + \ldots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5\,050$.
• $1 + 2 + \ldots + 40 = \dfrac{40 \times 41}{2} = 820$.

Pour retenir la formule : on ajoute $n$ nombres, dont la moyenne vaut $\dfrac{n + 1}{2}$.

3.3 Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Propriété. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $\text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$

Pourquoi ? C'est le même raisonnement : on écrit la somme à l'endroit et à l'envers. À chaque colonne, on ajoute $r$ d'un côté et on retire $r$ de l'autre : toutes les colonnes valent premier terme plus dernier terme.

Exemple 10 (des gradins). Une salle de spectacle a $15$ rangs. Le premier compte $20$ places, et chaque rang a $4$ places de plus que le précédent. Le nombre de places du rang $n$ est une suite arithmétique, de premier terme $u_1 = 20$ et de raison $4$. Le dernier rang compte $u_{15} = 20 + 14 \times 4 = 76$ places. La salle compte donc $\frac{15 \times (20 + 76)}{2} = \frac{15 \times 96}{2} = 720 \text{ places.}$

3.4 Compter les termes

Automatisme. De $u_p$ à $u_n$, il y a $n - p + 1$ termes. Par exemple, de $u_3$ à $u_{10}$, il y a $8$ termes, et non $7$. De $u_0$ à $u_n$, il y a $n + 1$ termes.

Exemple 11. Soit $S = 5 + 8 + 11 + \ldots + 62$. La raison vaut $3$. Comme $62 = 5 + 19 \times 3$, les rangs vont de $0$ à $19$ : il y a $20$ termes. Donc $S = \frac{20 \times (5 + 62)}{2} = 670.$