Systèmes linéaires en géométrie

Le programme le dit : « l'étude générale des systèmes linéaires n'est pas un objectif », mais beaucoup de questions de géométrie se traduisent par un système d'équations linéaires. On le résout dans des cas simples (par substitution, ou en ajoutant des lignes), puis on interprète ses solutions.

6.1 Trois vecteurs forment-ils une base ?

Au chapitre 3 : trois vecteurs forment une base s'ils ne sont pas coplanaires, et si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ pour deux réels $a$ et $b$.

Méthode. 1. On vérifie que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. 2. On écrit $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ coordonnée par coordonnée : trois équations, deux inconnues. 3. S'il n'y a pas de solution, $\vec{w}$ n'est pas une combinaison de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : les trois vecteurs forment une base. S'il y en a une, ils sont coplanaires : ce n'est pas une base.

Exemple 23. $\vec{u}\,(1\,;0\,;1)$, $\vec{v}\,(0\,;1\,;1)$, $\vec{w}\,(1\,;1\,;0)$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires (une coordonnée nulle chez l'un, pas chez l'autre). Le système $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \iff \begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \\ a + b = 0 \end{cases}$ donnerait $2 = 0$ : il n'a pas de solution. $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base.

Avec $\vec{w}'\,(2\,;-1\,;1)$ : $a = 2$, $b = -1$, et la troisième équation $a + b = 1$ est vérifiée. Donc $\vec{w}' = 2\vec{u} - \vec{v}$ : les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}'$ sont coplanaires, ce n'est pas une base.

On peut aussi dire : $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base si et seulement si la seule solution de $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}$ est $a = b = c = 0$. Les mathématiciens parlent de vecteurs linéairement indépendants.

6.2 Coordonnées d'un vecteur dans une base

Si $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base, tout vecteur $\vec{t}$ s'écrit de façon unique $\vec{t} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w}$ (chapitre 3). Pour trouver $x$, $y$, $z$, on résout un système de trois équations à trois inconnues, qui a une solution unique.

Exemple 24. Dans la base de l'exemple 23, les coordonnées de $\vec{t}\,(3\,;0\,;1)$. Le système $\begin{cases} x + z = 3 \\ y + z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$ se résout en ajoutant les trois lignes : $2(x + y + z) = 4$, donc $x + y + z = 2$. Alors $z = 2 - 1 = 1$ (avec la troisième ligne), $x = 2 - 0 = 2$ (avec la deuxième) et $y = 2 - 3 = -1$ (avec la première). Donc $\vec{t} = 2\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}$ : ses coordonnées dans la base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ sont $(2\,;-1\,;1)$.

Exemple 25 (retour au chapitre 3). Dans le cube, on avait lu sur la figure que $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AG})$ est une base et que $\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AG}$. Par le calcul :

• $\overrightarrow{AB}\,(1\,;0\,;0)$ et $\overrightarrow{AD}\,(0\,;1\,;0)$ ne sont pas colinéaires, et $\overrightarrow{AG}\,(1\,;1\,;1) = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AD}$ donnerait $1 = 0$ par la troisième coordonnée : c'est une base ;
• $\overrightarrow{AE}\,(0\,;0\,;1) = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} + z\overrightarrow{AG}$ donne $x + z = 0$, $y + z = 0$, $z = 1$, donc $z = 1$, $x = -1$, $y = -1$. On retrouve les coordonnées $(-1\,;-1\,;1)$.

6.3 Coplanarité et alignement

• Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ (avec $A$, $B$, $C$ non alignés) sont coplanaires si et seulement si le système $\overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$ a une solution. On peut aussi chercher une équation du plan $(ABC)$ et tester $D$.
• Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si le système $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ (trois équations, une inconnue) a une solution.

Exemple 26. On reprend $A(1\,;0\,;2)$, $B(2\,;1\,;0)$, $C(0\,;3\,;1)$ (exemple 14) et l'on pose $D(1\,;4\,;-1)$. $\overrightarrow{AD}\,(0\,;4\,;-3)$ et le système $\begin{cases} a - b = 0 \\ a + 3b = 4 \\ -2a - b = -3 \end{cases}$ donne $a = b$, puis $4a = 4$ : $a = b = 1$, et la troisième équation est vérifiée ($-2 - 1 = -3$). Donc $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ : les quatre points sont coplanaires ($ABDC$ est même un parallélogramme). Contrôle avec l'équation de $(ABC)$ : $5 + 12 - 4 - 13 = 0$.

Avec $D'(2\,;2\,;1)$ : $\overrightarrow{AD'}\,(1\,;2\,;-1)$, les deux premières équations $a - b = 1$ et $a + 3b = 2$ donnent $b = \frac14$ et $a = \frac54$, mais alors $-2a - b = -\frac{11}{4} \neq -1$. Pas de solution : $D'$ n'est pas dans le plan $(ABC)$. Contrôle : $10 + 6 + 4 - 13 = 7 \neq 0$.

6.4 Interpréter les solutions