Projeté orthogonal et distance

Au chapitre 9 : le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur un plan (ou sur une droite) est le point de ce plan (ou de cette droite) le plus proche de $M$, et la distance de $M$ au plan (ou à la droite) est $MH$. Au chapitre 9, le projeté sur un plan était deviné sur une figure, puis vérifié, et le projeté sur une droite était donné par la formule $t = \dfrac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u}}{\lVert\vec{u}\rVert^2}$. Ici, on calcule les coordonnées de $H$ dans tous les cas, avec une représentation paramétrique et une équation cartésienne.

5.1 Sur un plan donné par une équation cartésienne

Méthode. Soit $\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0$, de vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$, et $M$ un point.

1. La droite $\Delta$ passant par $M$ et orthogonale à $\mathcal{P}$ est dirigée par $\vec{n}$ : on écrit sa représentation paramétrique.
2. Le projeté $H$ est le point d'intersection de $\Delta$ et de $\mathcal{P}$ (leçon 4) : on remplace dans l'équation du plan et l'on trouve $t$.
3. On en déduit les coordonnées de $H$, puis la distance $MH$.

Exemple 19. $\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 3 = 0$ et $M(5\,;-3\,;4)$.

1. $\vec{n}\,(2\,;-1\,;2)$ ; $\Delta$ : $x = 5 + 2t$, $y = -3 - t$, $z = 4 + 2t$.
2. $2(5 + 2t) - (-3 - t) + 2(4 + 2t) - 3 = 18 + 9t$, et $18 + 9t = 0$ donne $t = -2$.
3. $H(1\,;-1\,;0)$. Contrôle : $2 + 1 + 0 - 3 = 0$. Alors $\overrightarrow{MH}\,(-4\,;2\,;-4)$ et $MH = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6.$ La distance du point $M$ au plan $\mathcal{P}$ vaut $6$. On a aussi $\overrightarrow{MH} = -2\vec{n}$ et $\lVert\vec{n}\rVert = 3$.

Exemple 20 (dans le cube). Le projeté de $A$ sur le plan $(BDE) : x + y + z - 1 = 0$. La droite passant par $A$ dirigée par le vecteur normal $(1\,;1\,;1)$ est $(AG)$, et l'exemple 15 donne $H = K\left(\frac13\,;\frac13\,;\frac13\right)$. La distance de $A$ au plan $(BDE)$ vaut $AK = \sqrt{\frac19 + \frac19 + \frac19} = \frac{\sqrt3}{3}$ : c'est le résultat du chapitre 9, obtenu ici par le calcul.

5.2 Sur une droite donnée par un point et un vecteur directeur

Méthode. Soit $d$ la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$, et $M$ un point.

1. On écrit les coordonnées d'un point quelconque $H(t)$ de $d$ avec la représentation paramétrique.
2. $H(t)$ est le projeté de $M$ si et seulement si $\overrightarrow{MH(t)} \cdot \vec{u} = 0$ : c'est une équation du premier degré en $t$.
3. On en déduit $H$, puis la distance $MH$.

Exemple 21. $d$ passe par $A(1\,;2\,;-1)$ et elle est dirigée par $\vec{u}\,(1\,;2\,;2)$ : $x = 1 + t$, $y = 2 + 2t$, $z = -1 + 2t$. Soit $M(4\,;5\,;-1)$.

1. $H(1 + t\,;\ 2 + 2t\,;\ -1 + 2t)$, donc $\overrightarrow{MH}\,(-3 + t\,;\ -3 + 2t\,;\ 2t)$.
2. $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = (-3 + t) + 2(-3 + 2t) + 2 \times 2t = 9t - 9$, nul pour $t = 1$.
3. $H(2\,;4\,;1)$ et $\overrightarrow{MH}\,(-2\,;-1\,;2)$ : la distance de $M$ à $d$ vaut $MH = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.

On retrouve la formule du chapitre 9, $t = \dfrac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u}}{\lVert\vec{u}\rVert^2}$ : ici $\overrightarrow{AM}\,(3\,;3\,;0)$, $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 9$ et $\lVert\vec{u}\rVert^2 = 9$.

Exemple 22 (dans le cube). Le projeté de $B(1\,;0\,;0)$ sur $(AG)$ : $H(t\,;t\,;t)$, $\overrightarrow{BH}\,(t - 1\,;t\,;t)$ et $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AG} = 3t - 1$, nul pour $t = \frac13$. Le projeté est encore le point $K$, et la distance de $B$ à $(AG)$ vaut $BK = \sqrt{\frac49 + \frac19 + \frac19} = \frac{\sqrt6}{3}$, comme au chapitre 9.