Reconnaître un plan ; plan défini par trois points

3.1 La réciproque

Propriété. Soit $a$, $b$, $c$, $d$ quatre réels, avec $a$, $b$, $c$ non tous nuls. L'ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que $ax + by + cz + d = 0$ est un plan, de vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$.

Démonstration. Cet ensemble contient au moins un point $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ : si $a \neq 0$, par exemple, le point $A\left(-\frac{d}{a}\,;0\,;0\right)$ convient (de même avec $b$ ou $c$). Alors $a x_A + b y_A + c z_A + d = 0$, donc $d = -(a x_A + b y_A + c z_A)$, et pour tout point $M(x\,;y\,;z)$ : $ax + by + cz + d = a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n}.$ L'équation équivaut donc à $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ : c'est le plan passant par $A$ et normal à $\vec{n}$ (chapitre 9), et $\vec{n}$ n'est pas nul.

3.2 Lire un vecteur normal, tester un point

Exemple 11. $\mathcal{P} : 2x - y + 3z - 6 = 0$.

• Vecteur normal : $\vec{n}\,(2\,;-1\,;3)$, les coefficients de $x$, $y$, $z$ (le signe compris).
• Un point : on fixe deux coordonnées et l'on calcule la troisième. Avec $y = z = 0$ : $2x - 6 = 0$, donc $(3\,;0\,;0) \in \mathcal{P}$. De même, $(0\,;-6\,;0)$ et $(0\,;0\,;2)$ sont dans $\mathcal{P}$ : ce sont ses points sur les trois axes.
• Tester un point : $M(1\,;2\,;2)$ donne $2 - 2 + 6 - 6 = 0$, donc $M \in \mathcal{P}$ ; $N(1\,;1\,;1)$ donne $2 - 1 + 3 - 6 = -2 \neq 0$, donc $N \notin \mathcal{P}$.

Exemple 12. L'équation $x + y - 1 = 0$, où $z$ n'apparaît pas, est celle d'un plan de vecteur normal $(1\,;1\,;0)$. Si un point $(x\,;y\,;z)$ y est, tous les points $(x\,;y\,;z')$ y sont aussi : ce plan contient des droites parallèles à l'axe des cotes. Dans le cube, il contient $B$, $D$, $F$ et $H$ : c'est le plan $(BDH)$.

3.3 Plans parallèles, droite orthogonale, droite parallèle à un plan

Les conséquences des vecteurs normaux (chapitre 9) se lisent sur les équations. Soit $\mathcal{P}$ un plan de vecteur normal $\vec{n}$ et $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$.

• Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires : les coefficients de $x$, $y$, $z$ sont proportionnels.
• $d$ est orthogonale à $\mathcal{P}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.
• $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$ (strictement, ou contenue dans $\mathcal{P}$) si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$.

Exemple 13. On reprend $\mathcal{P} : 2x - y + 3z - 6 = 0$, de vecteur normal $\vec{n}\,(2\,;-1\,;3)$.

• $\mathcal{P}' : 4x - 2y + 6z + 1 = 0$ a pour vecteur normal $(4\,;-2\,;6) = 2\vec{n}$ : les plans sont parallèles. Ils sont distincts, car $(3\,;0\,;0)$, point de $\mathcal{P}$, donne $12 + 1 = 13 \neq 0$ dans l'équation de $\mathcal{P}'$.
• Le plan $\mathcal{Q}$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par $B(1\,;1\,;1)$ a une équation $2x - y + 3z + d = 0$, avec $2 - 1 + 3 + d = 0$ : $\mathcal{Q} : 2x - y + 3z - 4 = 0$.
• La droite passant par $B$ et orthogonale à $\mathcal{P}$ est dirigée par $\vec{n}$ : $x = 1 + 2t$, $y = 1 - t$, $z = 1 + 3t$.
• La droite $d$ : $x = 1 + t$, $y = 2t$, $z = 3$ est dirigée par $\vec{u}\,(1\,;2\,;0)$, et $\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 - 2 + 0 = 0$ : elle est parallèle à $\mathcal{P}$. Son point $(1\,;0\,;3)$ donne $2 - 0 + 9 - 6 = 5 \neq 0$ : elle n'est pas contenue dans $\mathcal{P}$, elle lui est strictement parallèle.

3.4 Plan défini par trois points

Méthode. Pour trouver une équation du plan $(ABC)$ :

1. vérifier que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (les points ne sont pas alignés) ;
2. vérifier qu'un vecteur $\vec{n}$ (souvent donné par l'énoncé) est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$ : il est alors normal au plan (chapitre 9) ;
3. écrire l'équation avec $\vec{n}$ et le point $A$ ;
4. contrôler avec $B$ et $C$.

Exemple 14. $A(1\,;0\,;2)$, $B(2\,;1\,;0)$, $C(0\,;3\,;1)$ et $\vec{n}\,(5\,;3\,;4)$.

1. $\overrightarrow{AB}\,(1\,;1\,;-2)$ et $\overrightarrow{AC}\,(-1\,;3\,;-1)$ : ils ne sont pas colinéaires, car il faudrait multiplier par $-1$ pour passer de $1$ à $-1$, et par $3$ pour passer de $1$ à $3$.
2. $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 5 + 3 - 8 = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = -5 + 9 - 4 = 0$ : $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$.
3. $5x + 3y + 4z + d = 0$ avec $A$ : $5 + 0 + 8 + d = 0$, donc $d = -13$, et $(ABC) : 5x + 3y + 4z - 13 = 0$.
4. Contrôle : $B$ donne $10 + 3 + 0 - 13 = 0$ et $C$ donne $0 + 9 + 4 - 13 = 0$.

3.5 Pour aller plus loin : trouver soi-même un vecteur normal

Le programme range « déterminer un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires » parmi les approfondissements possibles : ce paragraphe n'est pas exigible. Pour trouver un vecteur $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$ normal au plan de l'exemple 14, on écrit les deux conditions : $\begin{cases} a + b - 2c = 0 \\ -a + 3b - c = 0 \end{cases}$ En ajoutant les deux lignes : $4b - 3c = 0$. Deux équations pour trois inconnues : on choisit une valeur, par exemple $c = 4$. Alors $b = 3$, puis $a = 2c - b = 5$. On retrouve $\vec{n}\,(5\,;3\,;4)$, ou tout vecteur colinéaire.