Représentations paramétriques et équations cartésiennes

1. Question 1 sur 20Une représentation paramétrique de la droite passant par $A(1\,;0\,;-2)$ et dirigée par $\vec{u}\,(3\,;-1\,;2)$ est

   A $x = 1 + 3t$ , $y = -t$ , $z = -2 + 2t$ B $x = 3 + t$ , $y = -1$ , $z = 2 - 2t$ C $x = 1 + 3t$ , $y = -t$ , $z = 2 + 2t$ D $x = 3t$ , $y = -t$ , $z = 2t$

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   Réponse A. Les termes constants sont les coordonnées de $A$ , les coefficients de $t$ celles de $\vec{u}$ . La réponse B échange les deux rôles.

2. Question 2 sur 20La droite $x = 2 - t$ , $y = 4$ , $z = 1 + 3t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ) a pour vecteur directeur

   A $(-1\,;0\,;3)$ B $(2\,;4\,;1)$ C $(-1\,;4\,;3)$ D $(1\,;0\,;3)$

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   Réponse A. Ce sont les coefficients de $t$ ; dans la deuxième ligne, le coefficient de $t$ est $0$ . $(2\,;4\,;1)$ est un point de la droite.

3. Question 3 sur 20Le point de paramètre $t = 2$ de la droite $x = 1 + t$ , $y = 3 - 2t$ , $z = 4t$ est

   A $(3\,;-1\,;8)$ B $(2\,;1\,;4)$ C $(3\,;1\,;8)$ D $(1\,;3\,;0)$

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   Réponse A. $x = 1 + 2 = 3$ , $y = 3 - 4 = -1$ , $z = 8$ .

4. Question 4 sur 20La droite $d$ : $x = 1 + 2t$ , $y = -1 + t$ , $z = 3t$ contient le point

   A $(5\,;1\,;6)$ B $(3\,;0\,;2)$ C $(2\,;0\,;3)$ D $(-1\,;-2\,;3)$

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   Réponse A. Avec $t = 2$ . Pour B, $t = 1$ donne $z = 3 \neq 2$ ; pour C, $x = 2$ donne $t = \frac12$ , puis $y = -\frac12 \neq 0$ ; pour D, $t = -1$ donne $z = -3 \neq 3$ .

5. Question 5 sur 20Une équation du plan passant par $A(1\,;2\,;-1)$ et normal à $\vec{n}\,(2\,;-1\,;3)$ est

   A $2x - y + 3z + 3 = 0$ B $2x - y + 3z - 3 = 0$ C $x + 2y - z - 6 = 0$ D $2x - y + 3z = 0$

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   Réponse A. $2x - y + 3z + d = 0$ et $A$ donne $2 - 2 - 3 + d = 0$ , donc $d = 3$ .

6. Question 6 sur 20Dans le cube, une équation du plan $(EFG)$ est

   A $z = 1$ B $z = 0$ C $x + y + z - 1 = 0$ D $y = 1$

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   Réponse A. La face du haut passe par $E(0\,;0\,;1)$ et elle est normale à $\overrightarrow{AE}\,(0\,;0\,;1)$ . $z = 0$ est la face du bas.

7. Question 7 sur 20Les équations $x + 2y - 2z + 6 = 0$ et $2x + 4y - 4z + 12 = 0$ décrivent deux plans

   A confondus B strictement parallèles C sécants D dont l'un n'est pas un plan

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   Réponse A. La seconde équation est la première multipliée par $2$ : c'est le même plan.

8. Question 8 sur 20Dans un repère orthonormé, le plan passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et normal à $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$ a pour équation $ax + by + cz + d = 0$ avec

   A $d = -(a x_A + b y_A + c z_A)$ B $d = a x_A + b y_A + c z_A$ C $d = 0$ D $d = x_A + y_A + z_A$

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   Réponse A. C'est la démonstration du cours : $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = ax + by + cz - (a x_A + b y_A + c z_A)$ .

9. Question 9 sur 20Un vecteur normal au plan d'équation $3x - z + 2 = 0$ est

   A $(3\,;0\,;-1)$ B $(3\,;-1\,;2)$ C $(3\,;-1\,;0)$ D $(0\,;3\,;-1)$

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   Réponse A. Coefficients de $x$ , $y$ , $z$ : $3$ , $0$ ( $y$ n'apparaît pas) et $-1$ .

10. Question 10 sur 20Le point qui appartient au plan $x - 2y + z - 3 = 0$ est

    A $(1\,;-1\,;0)$ B $(1\,;1\,;1)$ C $(3\,;1\,;0)$ D $(0\,;0\,;-3)$

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    Réponse A. $1 + 2 + 0 - 3 = 0$ . Les autres donnent $-3$ , $-2$ et $-6$ .

11. Question 11 sur 20Les plans $2x - y + z - 1 = 0$ et $-4x + 2y - 2z + 5 = 0$ sont

    A strictement parallèles B confondus C sécants D sécants selon l'axe des cotes

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    Réponse A. Les vecteurs normaux $(2\,;-1\,;1)$ et $(-4\,;2\,;-2)$ sont colinéaires. Le point $(0\,;0\,;1)$ du premier plan donne $-2 + 5 = 3 \neq 0$ dans la seconde équation.

12. Question 12 sur 20La droite $x = t$ , $y = 1 + t$ , $z = 2t$ et le plan $x + y - z - 3 = 0$ sont

    A strictement parallèles B sécants en $(0\,;1\,;0)$ C tels que la droite est contenue dans le plan D sécants en $(1\,;2\,;2)$

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    Réponse A. On remplace : $t + 1 + t - 2t - 3 = -2$ , et $-2 = 0$ est impossible.

13. Question 13 sur 20La droite $x = 1 + t$ , $y = 2 - t$ , $z = 3t$ coupe le plan $x + y + z - 6 = 0$ au point

    A $(2\,;1\,;3)$ B $(1\,;2\,;3)$ C $(1\,;2\,;0)$ D $(3\,;0\,;6)$

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    Réponse A. $1 + t + 2 - t + 3t - 6 = 3t - 3$ , nul pour $t = 1$ .

14. Question 14 sur 20En remplaçant $x$ , $y$ , $z$ par une représentation paramétrique d'une droite $d$ dans l'équation d'un plan $\mathcal{P}$ , on obtient $0 = 0$ . Alors

    A $d$ est contenue dans $\mathcal{P}$ B $d$ et $\mathcal{P}$ sont sécants C $d$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$ D $d$ est orthogonale à $\mathcal{P}$

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    Réponse A. L'égalité est vraie pour tout $t$ : tous les points de $d$ sont dans $\mathcal{P}$ .

15. Question 15 sur 20Deux droites ont des vecteurs directeurs non colinéaires, et le système qui cherche leur point commun n'a pas de solution. Ces droites sont

    A non coplanaires B parallèles C sécantes D confondues

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    Réponse A. Elles ne sont pas parallèles (vecteurs non colinéaires) et n'ont aucun point commun.

16. Question 16 sur 20Le projeté orthogonal du point $M(1\,;1\,;3)$ sur le plan d'équation $z = 0$ est

    A $(1\,;1\,;0)$ B $(0\,;0\,;3)$ C $(1\,;1\,;3)$ D $(0\,;0\,;0)$

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    Réponse A. La droite passant par $M$ dirigée par $\vec{k}$ ( $x = 1$ , $y = 1$ , $z = 3 + t$ ) coupe le plan pour $t = -3$ .

17. Question 17 sur 20Pour trouver le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $2x + y - 2z + 1 = 0$ , on coupe ce plan par la droite passant par $M$ et dirigée par

    A $(2\,;1\,;-2)$ B $(1\,;-2\,;0)$ C $(2\,;1\,;1)$ D $(-2\,;1\,;2)$

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    Réponse A. C'est un vecteur normal au plan. Le vecteur B est orthogonal au vecteur normal : il est parallèle au plan.

18. Question 18 sur 20La distance du point $M(3\,;3\,;3)$ au plan $x + y + z - 3 = 0$ vaut

    A $2\sqrt3$ B $6$ C $12$ D $\sqrt3$

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    Réponse A. La droite $x = y = z = 3 + t$ coupe le plan pour $9 + 3t - 3 = 0$ , soit $t = -2$ : $H(1\,;1\,;1)$ , et $MH = \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt3$ .

19. Question 19 sur 20Les vecteurs $\vec{u}\,(1\,;0\,;1)$ , $\vec{v}\,(0\,;1\,;1)$ et $\vec{w}\,(1\,;1\,;2)$

    A ne forment pas une base B forment une base C forment une base orthonormée D sont colinéaires

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    Réponse A. $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ : les trois vecteurs sont coplanaires.

20. Question 20 sur 20Dans la base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ , avec $\vec{u}\,(1\,;1\,;0)$ , $\vec{v}\,(0\,;1\,;1)$ et $\vec{w}\,(1\,;0\,;1)$ , le vecteur $\vec{t}\,(2\,;2\,;2)$ a pour coordonnées

    A $(1\,;1\,;1)$ B $(2\,;2\,;2)$ C $(2\,;0\,;2)$ D $(1\,;0\,;1)$

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    Réponse A. $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = (2\,;2\,;2)$ , et les coordonnées dans une base sont uniques.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.