Devoir sur 20 : Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin. L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ .

Sujet

Exercice 1 (8 points)

On considère les points $A(2\,;0\,;0)$ , $B(0\,;4\,;0)$ , $C(0\,;0\,;2)$ et le vecteur $\vec{n}\,(2\,;1\,;2)$ .

Montrer que $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$ . (1,5 point)
En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$ . (1 point)
Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $O$ et orthogonale au plan $(ABC)$ . (1 point)
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur le plan $(ABC)$ . (1,5 point)
Calculer la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ . (1 point)
Calculer le volume du tétraèdre $OABC$ , dont la base $OAB$ est un triangle rectangle en $O$ et dont la hauteur est $OC$ . En utilisant la question 5, en déduire l'aire du triangle $ABC$ . (2 points)

Exercice 2 (7 points)

On considère la droite $d$ passant par $A(1\,;2\,;3)$ et dirigée par $\vec{u}\,(1\,;-1\,;2)$ , et la droite $d'$ : $x = 4 - s$ , $y = 1 + s$ , $z = 2 + s$ ( $s \in \mathbb{R}$ ).

Donner une représentation paramétrique de $d$ . Les points $M(3\,;0\,;7)$ et $N(2\,;1\,;4)$ appartiennent-ils à $d$ ? (1,5 point)
Étudier la position relative des droites $d$ et $d'$ . (2 points)
Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x - y + z - 10 = 0$ . Déterminer l'intersection de $d$ et de $\mathcal{P}$ . La droite $d'$ est-elle parallèle à $\mathcal{P}$ ? (1,5 point)
Soit $B(3\,;2\,;5)$ . Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $K$ de $B$ sur $d$ , puis la distance du point $B$ à la droite $d$ . (2 points)

Exercice 3 (5 points)

On considère les vecteurs $\vec{u}\,(1\,;2\,;0)$ , $\vec{v}\,(0\,;1\,;-1)$ et $\vec{w}\,(2\,;0\,;1)$ .

Montrer que $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base de l'espace. (2 points)
Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{t}\,(5\,;3\,;1)$ dans cette base. (2 points)
Les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}'\,(1\,;4\,;-2)$ forment-ils une base ? (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

$\overrightarrow{AB}\,(-2\,;4\,;0)$ et $\overrightarrow{AC}\,(-2\,;0\,;2)$ ne sont pas colinéaires (0,5 point). $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -4 + 4 + 0 = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = -4 + 0 + 4 = 0$ : $\vec{n}$ est normal à $(ABC)$ (1 point).
$2x + y + 2z + d = 0$ et $A$ donne $4 + d = 0$ : $(ABC) : 2x + y + 2z - 4 = 0$ . Contrôle avec $B$ et $C$ (1 point).
$\Delta$ est dirigée par $\vec{n}$ : $x = 2t$ , $y = t$ , $z = 2t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ) (1 point).
On remplace : $4t + t + 4t - 4 = 0$ , donc $9t = 4$ et $t = \frac49$ (1 point). $H\left(\frac89\,;\frac49\,;\frac89\right)$ (0,5 point).
$\overrightarrow{OH} = \frac49\vec{n}$ et $\lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ , donc $OH = \frac49 \times 3 = \frac43$ (1 point).
Aire de $OAB$ : $\frac12 \times 2 \times 4 = 4$ ; volume : $V = \frac13 \times 4 \times 2 = \frac83$ (1 point). Avec la base $ABC$ et la hauteur $OH$ : $V = \frac13 \times \mathcal{A}_{ABC} \times OH$ , donc $\mathcal{A}_{ABC} = \frac{3V}{OH} = \frac{8}{\frac43} = 6$ (1 point).

Exercice 2

$d$ : $x = 1 + t$ , $y = 2 - t$ , $z = 3 + 2t$ (0,5 point). $M$ : $t = 2$ donne $(3\,;0\,;7)$ , donc $M \in d$ (0,5 point). $N$ : $t = 1$ donne $(2\,;1\,;5) \neq N$ , donc $N \notin d$ (0,5 point).
$d'$ est dirigée par $(-1\,;1\,;1)$ , non colinéaire à $\vec{u}$ : les droites ne sont pas parallèles (0,5 point). Le système $1 + t = 4 - s$ , $2 - t = 1 + s$ , $3 + 2t = 2 + s$ : en ajoutant les deux premières équations, on obtient $3 = 5$ , impossible (1 point). Les droites sont non coplanaires (0,5 point).
On remplace : $(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) - 10 = 4t - 8$ , nul pour $t = 2$ : $d$ coupe $\mathcal{P}$ en $M(3\,;0\,;7)$ (1 point). $d'$ est dirigée par $(-1\,;1\,;1)$ et $(-1\,;1\,;1) \cdot (1\,;-1\,;1) = -1 - 1 + 1 = -1 \neq 0$ : $d'$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$ (0,5 point).
$K(1 + t\,;\ 2 - t\,;\ 3 + 2t)$ et $\overrightarrow{BK}\,(t - 2\,;\ -t\,;\ 2t - 2)$ . $\overrightarrow{BK} \cdot \vec{u} = (t - 2) + t + 2(2t - 2) = 6t - 6$ , nul pour $t = 1$ (1 point). $K(2\,;1\,;5)$ , $\overrightarrow{BK}\,(-1\,;-1\,;0)$ et la distance de $B$ à $d$ vaut $BK = \sqrt2$ (1 point).

Exercice 3

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires (0,5 point). $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ s'écrit $a = 2$ , $2a + b = 0$ , $-b = 1$ . Les deux premières donnent $b = -4$ , la troisième $b = -1$ : pas de solution (1 point). Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires : c'est une base (0,5 point).
$x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w} = (x + 2z\,;\ 2x + y\,;\ -y + z)$ . Le système $x + 2z = 5$ , $2x + y = 3$ , $-y + z = 1$ (0,5 point) : la troisième donne $z = 1 + y$ , la première $x = 5 - 2z = 3 - 2y$ , puis la deuxième $6 - 4y + y = 3$ , donc $y = 1$ , $z = 2$ et $x = 1$ (1 point). Coordonnées $(1\,;1\,;2)$ : $\vec{t} = \vec{u} + \vec{v} + 2\vec{w}$ (0,5 point).
$\vec{w}' = a\vec{u} + b\vec{v}$ : $a = 1$ , $2a + b = 4$ , $-b = -2$ . On trouve $a = 1$ , $b = 2$ , et les trois équations sont vérifiées : $\vec{w}' = \vec{u} + 2\vec{v}$ . Ce n'est pas une base (1 point).