Succession de deux épreuves indépendantes

8.1 Couples et produit cartésien

Quand on enchaîne deux épreuves, une issue est un couple : le résultat de la première, puis celui de la seconde. L'ordre compte : le couple $(2\,;5)$ n'est pas le couple $(5\,;2)$. L'ensemble des couples est le produit cartésien $\Omega_1 \times \Omega_2$.

8.2 Le modèle

Deux épreuves sont indépendantes si le résultat de l'une n'influence pas l'autre. Dans ce modèle, la probabilité d'un couple est le produit des probabilités de ses deux résultats : $P\big((x\,;y)\big) = P(x) \times P(y).$

8.3 Représentation par un tableau

Exemple 22 (deux dés). On lance un dé bleu, puis un dé rouge, tous deux équilibrés. Il y a $6 \times 6 = 36$ couples, chacun de probabilité $\dfrac16 \times \dfrac16 = \dfrac{1}{36}$. Dans chaque case, on écrit la somme des deux dés.

bleu \ rouge	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

La somme $7$ occupe six cases : $P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$. La somme $2$ n'en occupe qu'une : $P(\text{somme} = 2) = \dfrac{1}{36}$.

Si les issues ne sont pas équiprobables, on écrit dans chaque case le produit des deux probabilités.

Exemple 23. Une roue s'arrête sur rouge avec la probabilité $\dfrac12$, sur bleu avec $\dfrac13$, sur vert avec $\dfrac16$. Puis on lance une pièce équilibrée.

	Pile : $\dfrac12$	Face : $\dfrac12$	Total
Rouge : $\dfrac12$	$\dfrac14$	$\dfrac14$	$\dfrac12$
Bleu : $\dfrac13$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac13$
Vert : $\dfrac16$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac16$
Total	$\dfrac12$	$\dfrac12$	$1$

8.4 Représentation par un arbre

Exemple 24 (avec remise). Un sac contient cinq billes : trois rouges et deux bleues. On tire une bille, on note sa couleur, on la remet, et on en tire une seconde. Le sac est le même au second tirage : les deux tirages sont indépendants, et les branches du second niveau sont identiques aux premières. Ainsi $P(RR) = \dfrac35 \times \dfrac35 = \dfrac{9}{25}$. Deux billes de la même couleur : $\dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{13}{25}$.

8.5 Le piège du tirage sans remise

Exemple 24 (suite). Si on ne remet pas la bille, il ne reste que quatre billes au second tirage, et leur composition dépend du premier tirage. Les tirages ne sont pas indépendants. L'arbre reste juste, car ses branches portent des probabilités conditionnelles : $P(RR) = \dfrac35 \times \dfrac24 = \dfrac{3}{10}$, et non $\dfrac{9}{25}$.

8.6 Tableau ou arbre ?

Le tableau convient pour deux épreuves qui ont beaucoup d'issues. L'arbre convient quand il y a peu d'issues, et il se prolonge facilement à une troisième épreuve.