Rappels : univers, évènements, probabilités

1.1 Expérience aléatoire, univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles, sans savoir lequel on va obtenir. Chaque résultat possible est une issue. L'ensemble de toutes les issues est l'univers, noté $\Omega$. Le nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$ est son cardinal, noté $\mathrm{Card}(E)$.

Exemple 1 (la roue). Dans un jeu de société, on fait tourner une roue à douze secteurs égaux, numérotés de $1$ à $12$. L'univers est $\Omega = \{1\,;2\,;3\,;\ldots\,;12\}$, et $\mathrm{Card}(\Omega) = 12$.

1.2 Évènements

Un évènement est un sous-ensemble de $\Omega$, c'est-à-dire une partie des issues.

Exemple 2. Sur la roue, on note $A$ : « le numéro est pair » et $B$ : « le numéro est un multiple de $3$ ». Alors $A = \{2\,;4\,;6\,;8\,;10\,;12\}$ et $B = \{3\,;6\,;9\,;12\}$.

• Pour un élément, on dit « appartient » : $6 \in A$.
• Pour un ensemble, on dit « inclus » : $\{4\,;8\} \subset A$.
• L'ensemble vide $\varnothing$ est l'évènement impossible ; $\Omega$ est l'évènement certain.

1.3 Et, ou, contraire

En mathématiques, le « ou » n'exclut pas le cas où les deux sont réalisés.

Deux évènements sans issue commune sont incompatibles : $A \cap B = \varnothing$.

Exemple 3. Sur la roue, $A \cap B = \{6\,;12\}$ et $A \cup B = \{2\,;3\,;4\,;6\,;8\,;9\,;10\,;12\}$. Le contraire de $A$ est $\overline{A} = \{1\,;3\,;5\,;7\,;9\,;11\}$. Les évènements $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles, et leur réunion est $\Omega$. En revanche, $B$ et $\overline{A}$ ne sont pas incompatibles : $B \cap \overline{A} = \{3\,;9\}$.

1.4 Loi de probabilité

Une loi de probabilité associe à chaque issue un nombre compris entre $0$ et $1$, et la somme de ces nombres vaut $1$. La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités de ses issues.

Exemple 4 (un dé mal équilibré). Un dé à quatre faces suit la loi suivante.

Face	$1$	$2$	$3$	$4$
Probabilité	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}3$	$x$

La somme vaut $1$, donc $x = 1 - (0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}3) = 0{,}4$. Obtenir un numéro pair a pour probabilité $0{,}2 + 0{,}4 = 0{,}6$.

1.5 Équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même probabilité, on parle d'équiprobabilité. C'est une hypothèse du modèle, pas un résultat : on suppose la roue bien équilibrée. Alors, pour tout évènement $A$, $P(A) = \frac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}.$

Exemple 5. Sur la roue, $P(A) = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$, $P(B) = \dfrac{4}{12} = \dfrac13$ et $P(A \cap B) = \dfrac{2}{12} = \dfrac16$.

1.6 Règles de calcul

Pour tous évènements $A$ et $B$ :

• $0 \leq P(A) \leq 1$ ;
• $P\left(\overline{A}\right) = 1 - P(A)$ ;
• $P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B)$, autrement dit $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ : on retire ce qui a été compté deux fois.

Exemple 6. Sur la roue, $P(A \cup B) = \dfrac12 + \dfrac13 - \dfrac16 = \dfrac23$. On retrouve bien $\dfrac{8}{12}$ : huit issues sur douze.

Automatisme. Quatre réflexes : une probabilité est comprise entre $0$ et $1$ ; $P\left(\overline{A}\right) = 1 - P(A)$ ; la somme des probabilités des issues vaut $1$ ; en cas d'équiprobabilité, $P(A) = \dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}$.