Partition de l'univers, probabilités totales

6.1 Partition de l'univers

Définition. Des évènements $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$, ou un système complet d'évènements, s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est $\Omega$. Chaque issue est alors dans un morceau, et un seul.

Exemple 15. Sur la roue, $\{1\,;2\,;3\,;4\}$, $\{5\,;6\,;7\,;8\}$ et $\{9\,;10\,;11\,;12\}$ forment une partition. En revanche, « pair » et « multiple de $3$ » n'en forment pas une : $6$ est dans les deux, et $1$ n'est dans aucun.

Le cas le plus fréquent est le plus simple : $A$ et $\overline{A}$ forment toujours une partition en deux morceaux.

6.2 La formule des probabilités totales

Une partition découpe aussi tout évènement $B$ en morceaux : $A_1 \cap B$, $A_2 \cap B$, …, $A_n \cap B$. Ces morceaux sont incompatibles et leur réunion est $B$. On additionne donc leurs probabilités.

Formule des probabilités totales. Si $A_1$, …, $A_n$ forment une partition de $\Omega$, alors, pour tout évènement $B$, $P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \cdots + P(A_n \cap B).$ Si les $A_i$ sont de probabilité non nulle, chaque terme s'écrit $P(A_i \cap B) = P(A_i) \times P_{A_i}(B)$.

Pour la partition en deux morceaux : $P(B) = P(A \cap B) + P\left(\overline{A} \cap B\right)$.

Sur un arbre, c'est ce que tu sais déjà faire : on additionne tous les chemins qui mènent à $B$.

Exemple 16 (une imprimerie). Une imprimerie fabrique des cartes postales sur trois machines. La machine $X$ produit $50\,\%$ des cartes, $Y$ en produit $30\,\%$ et $Z$ en produit $20\,\%$. Les cartes défectueuses représentent $2\,\%$ de la production de $X$, $4\,\%$ de celle de $Y$ et $5\,\%$ de celle de $Z$. On prend une carte au hasard ; $D$ : « la carte est défectueuse ».

$X$, $Y$ et $Z$ forment une partition : chaque carte sort d'une machine, et d'une seule. Donc $P(D) = 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}04 + 0{,}2 \times 0{,}05 = 0{,}01 + 0{,}012 + 0{,}01 = 0{,}032.$

6.3 Inverser le conditionnement

Pour obtenir $P_B(A)$ quand on connaît $P_A(B)$, on revient à la définition, après avoir calculé $P(B)$.

Exemple 16 (suite). Une carte est défectueuse. La probabilité qu'elle vienne de la machine $Y$ est $P_D(Y) = \frac{P(Y \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}012}{0{,}032} = \frac{12}{32} = \frac38 = 0{,}375.$ La machine $Y$ fait $30\,\%$ des cartes, mais $37{,}5\,\%$ des défauts.

6.4 Trouver une inconnue

Exemple 17. On sait que $P(A) = 0{,}5$, $P_A(B) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}35$. On cherche $p = P_{\overline{A}}(B)$. La formule donne $0{,}35 = 0{,}5 \times 0{,}4 + 0{,}5 \times p$, donc $0{,}5 \times p = 0{,}15$ et $p = 0{,}3$.