Python, la méthode de Monte-Carlo

10.1 Le principe

On tire un point au hasard dans un carré d'aire $1$. La probabilité qu'il tombe dans une zone du carré est égale à l'aire de cette zone. Or, lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. Compter les points tombés dans la zone donne donc une estimation de son aire : $\text{aire} \approx \frac{\text{nombre de points dans la zone}}{n}.$

10.2 Estimer le nombre $\pi$

La zone est le quart de disque de rayon $1$ centré à l'origine, d'aire $\dfrac{\pi}{4}$. Un point $(x\,;y)$ du carré est dans cette zone si sa distance à l'origine est au plus $1$, c'est-à-dire, d'après le théorème de Pythagore, si $x^2 + y^2 \leq 1$. Si $f$ est la fréquence des points dans la zone, alors $f \approx \dfrac{\pi}{4}$, donc $\pi \approx 4 \times f$.

from random import random

def estimation_pi(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if x**2 + y**2 <= 1:
            compteur = compteur + 1
    return 4 * compteur / n

La fonction random() renvoie un nombre au hasard entre $0$ et $1$. En langage naturel, la ligne de comptage s'écrit « compteur $\leftarrow$ compteur $+\,1$ ».

Exemple 28. Une exécution a donné les résultats suivants. Le hasard change à chaque exécution : tes résultats seront différents.

$n$	$100$	$1\,000$	$1\,000\,000$
estimation_pi(n)	$3{,}2$	$3{,}128$	$3{,}1411$

L'estimation s'améliore en général quand $n$ augmente, mais lentement.

10.3 Estimer l'aire sous la parabole

On cherche l'aire sous la parabole d'équation $y = x^2$, entre $0$ et $1$. Cette zone est dans le même carré, et un point y est si $y \leq x^2$. Il suffit de changer le test, et de renvoyer la fréquence.

def aire_parabole(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if y <= x**2:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

Exemple 29. Une exécution a donné les résultats suivants.

$n$	$100$	$1\,000$	$1\,000\,000$
aire_parabole(n)	$0{,}31$	$0{,}333$	$0{,}333$

Ces résultats conduisent à conjecturer que l'aire vaut $\dfrac13$. C'est bien la valeur exacte : tu le démontreras en Terminale.