La fonction t ↦ exp(at)

6.1 Un premier cas

Soit $g(t) = \mathrm{e}^{2t} = \mathrm{e}^t \times \mathrm{e}^t$. C'est un produit, avec $u = v = \exp$ : $g'(t) = \mathrm{e}^t \times \mathrm{e}^t + \mathrm{e}^t \times \mathrm{e}^t = 2\,\mathrm{e}^{2t}.$

6.2 La formule

Propriété. Pour tout réel $a$, la fonction $t \mapsto \mathrm{e}^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et sa dérivée est $t \mapsto a\,\mathrm{e}^{at}.$

Pourquoi ? Si $a = 0$, la fonction est constante, et la formule reste vraie. Si $a \neq 0$, soit $g(t) = \mathrm{e}^{at}$. Le taux de variation entre $t$ et $t + h$ est $\frac{g(t + h) - g(t)}{h} = \frac{\mathrm{e}^{at + ah} - \mathrm{e}^{at}}{h} = \mathrm{e}^{at} \times \frac{\mathrm{e}^{ah} - 1}{h} = a\,\mathrm{e}^{at} \times \frac{\mathrm{e}^{ah} - 1}{ah}.$ Avec $H = ah$, le dernier quotient $\dfrac{\mathrm{e}^H - 1}{H}$ est le taux de variation de $\exp$ entre $0$ et $H$. Quand $h$ se rapproche de $0$, $H$ aussi, et ce taux se rapproche de $\exp'(0) = 1$. Il reste $a\,\mathrm{e}^{at}$.

Exemple 18.

• $\mathrm{e}^{3t}$ a pour dérivée $3\mathrm{e}^{3t}$.
• $\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ a pour dérivée $-0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.
• $4\mathrm{e}^{-2t} + t$ a pour dérivée $-8\mathrm{e}^{-2t} + 1$.

Exemple 19 (un produit). Soit $f(t) = t\mathrm{e}^{-t}$. Alors $f'(t) = 1 \times \mathrm{e}^{-t} + t \times \left(-\mathrm{e}^{-t}\right) = (1 - t)\mathrm{e}^{-t}$.

6.3 Sens de variation

Comme $\mathrm{e}^{at} > 0$, la dérivée $a\,\mathrm{e}^{at}$ a le signe de $a$.

6.4 Les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$

Soit $k$ un réel strictement positif. Toutes les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$ passent par le point $(0\,;1)$, et la pente de la tangente en ce point vaut $k$. Plus $k$ est grand, plus la courbe est raide. Toutes ces fonctions sont strictement croissantes.

6.5 Les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$

La valeur de $\mathrm{e}^{-kt}$ en $t$ est la valeur de $\mathrm{e}^{kt}$ en $-t$. La courbe de $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$ est donc la symétrique de celle de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$ par rapport à l'axe des ordonnées. Elle passe par $(0\,;1)$, avec une pente égale à $-k$, et la fonction est strictement décroissante.

6.6 Représenter à la main

Trois points et une tangente suffisent.

Exemple 20. Représentons $t \mapsto \mathrm{e}^{-0{,}5t}$.

$t$	$-2$	$0$	$2$
$\mathrm{e}^{-0{,}5t}$	$\mathrm{e} \approx 2{,}72$	$1$	$\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37$

La tangente au point $(0\,;1)$ a pour pente $-0{,}5$. On relie les points par une courbe lisse, qui reste au-dessus de l'axe des abscisses.