QCM · Chapitre 11

Fonction exponentielle

20 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 14 bonnes réponses sur 20. Tentatives illimitées.

20 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 20La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que
$f' = f$ et $f(0) = 1$ $f' = f$ et $f(1) = 0$ $f' = 1$ et $f(0) = 1$ $f' = f$ et $f(0) = 0$

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Réponse A. C'est la définition : égale à sa dérivée, et valant $1$ en $0$ .
Question 2 sur 20La dérivée de $x \mapsto x\exp(x)$ est
$x \mapsto \exp(x)$ $x \mapsto x\exp(x)$ $x \mapsto (x + 1)\exp(x)$ $x \mapsto (x - 1)\exp(x)$

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Réponse C. On dérive un produit : $1 \times \exp(x) + x\exp(x) = (x + 1)\exp(x)$ .
Question 3 sur 20Avec la méthode d'Euler et un pas de $0{,}5$ , la valeur approchée de $\exp(1)$ obtenue est
$1{,}5$ $2$ $3$ $2{,}25$

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Réponse D. Deux pas multiplient par $1{,}5$ : $1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$ .
Question 4 sur 20Dans le programme de la méthode d'Euler pour $\exp$ , chaque tour de boucle exécute
y = y + h y = y + h * y y = h * y y = y * y

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Réponse B. Un pas multiplie la valeur par $1 + h$ , soit $y \leftarrow y + h \times y$ .
Question 5 sur 20Pour tout réel $x$ , $\exp(x)\exp(-x)$ est égal à
$0$ $\exp(x^2)$ $1$ $-\exp(x)^2$

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Réponse C. $\exp(x)\exp(-x) = \exp(x - x) = \exp(0) = 1$ .
Question 6 sur 20Le nombre $\exp(2)\exp(3)$ est égal à
$\mathrm{e}^6$ $\mathrm{e}^5$ $\exp(1)$ $5\mathrm{e}$

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Réponse B. Une somme dans la parenthèse, un produit à l'arrivée : $\exp(2 + 3) = \mathrm{e}^5$ .
Question 7 sur 20Le nombre $\mathrm{e}^4 \times \mathrm{e}^{-6}$ est égal à
$\mathrm{e}^{-24}$ $\mathrm{e}^{10}$ $\mathrm{e}^{2}$ $\mathrm{e}^{-2}$

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Réponse D. On ajoute les exposants : $4 - 6 = -2$ .
Question 8 sur 20Pour tout réel $x$ , $\dfrac{\mathrm{e}^{3x}}{\mathrm{e}^{x + 1}}$ est égal à
$\mathrm{e}^{2x - 1}$ $\mathrm{e}^{2x + 1}$ $\mathrm{e}^{3}$ $3\mathrm{e}^{-1}$

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Réponse A. L'exposant vaut $3x - (x + 1) = 2x - 1$ : on retranche tout l'exposant du bas.
Question 9 sur 20Pour tout réel $x$ , $\left(\mathrm{e}^x\right)^2$ est égal à
$\mathrm{e}^{x^2}$ $2\mathrm{e}^x$ $\mathrm{e}^{2x}$ $\mathrm{e}^{x + 2}$

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Réponse C. On multiplie les exposants. La réponse A confond $\left(\mathrm{e}^x\right)^2$ avec $\mathrm{e}^{x^2}$ : pour $x = 1$ , on aurait $\mathrm{e}^2$ et $\mathrm{e}$ .
Question 10 sur 20La solution de $\mathrm{e}^{2x - 1} = \mathrm{e}^{x + 2}$ est
$1$ $-3$ $\dfrac13$ $3$

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Réponse D. On compare les exposants : $2x - 1 = x + 2$ donne $x = 3$ .
Question 11 sur 20L'ensemble des solutions de $\mathrm{e}^{-x} > 1$ est
$]-\infty\,;0[$ $]0\,;+\infty[$ $\mathbb{R}$ aucun nombre réel

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Réponse A. Comme $1 = \mathrm{e}^0$ , on a $-x > 0$ , soit $x < 0$ .
Question 12 sur 20La dérivée de $t \mapsto \mathrm{e}^{-3t}$ est
$t \mapsto \mathrm{e}^{-3t}$ $t \mapsto -3\mathrm{e}^{-3t}$ $t \mapsto 3\mathrm{e}^{-3t}$ $t \mapsto -3t\,\mathrm{e}^{-3t}$

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Réponse B. La dérivée de $t \mapsto \mathrm{e}^{at}$ est $t \mapsto a\,\mathrm{e}^{at}$ , avec $a = -3$ .
Question 13 sur 20La dérivée de $t \mapsto t\mathrm{e}^{-t}$ est
$t \mapsto (t - 1)\mathrm{e}^{-t}$ $t \mapsto -\mathrm{e}^{-t}$ $t \mapsto (1 + t)\mathrm{e}^{-t}$ $t \mapsto (1 - t)\mathrm{e}^{-t}$

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Réponse D. $1 \times \mathrm{e}^{-t} + t \times \left(-\mathrm{e}^{-t}\right) = (1 - t)\mathrm{e}^{-t}$ .
Question 14 sur 20La courbe de $t \mapsto \mathrm{e}^{-2t}$
passe par $(0\,;1)$ avec une pente égale à $2$ passe par $(0\,;-2)$ passe par $(0\,;1)$ avec une pente égale à $-2$ est croissante

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Réponse C. La fonction vaut $1$ en $0$ , et sa dérivée $t \mapsto -2\mathrm{e}^{-2t}$ vaut $-2$ en $0$ .
Question 15 sur 20La suite de terme général $u_n = \mathrm{e}^{-n}$ est géométrique, de raison
$\mathrm{e}$ $\mathrm{e}^{-1}$ $-\mathrm{e}$ $-1$

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Réponse B. $u_{n + 1} = \mathrm{e}^{-n - 1} = u_n \times \mathrm{e}^{-1}$ .
Question 16 sur 20Pour $f(t) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}04t}$ , le rapport $\dfrac{f(t + 1)}{f(t)}$ vaut
$\mathrm{e}^{0{,}04}$ $1{,}04$ $500$ $0{,}04$

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Réponse A. $f(t + 1) = 500\,\mathrm{e}^{0{,}04t} \times \mathrm{e}^{0{,}04}$ . Ce rapport est proche de $1{,}04$ , mais il ne lui est pas égal.
Question 17 sur 20Une grandeur vérifie $f' = -0{,}2\,f$ et $f(0) = 30$ . Alors $f(t)$ est égal à
$30\,\mathrm{e}^{0{,}2t}$ $-0{,}2\,\mathrm{e}^{30t}$ $30\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ $30 - 0{,}2t$

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Réponse C. $f' = kf$ donne $f(t) = f(0)\,\mathrm{e}^{kt}$ , ici avec $k = -0{,}2$ .
Question 18 sur 20On donne $\mathrm{e}^{-0{,}69} \approx 0{,}5$ . Pour $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ , la demi-vie vaut environ
$0{,}69$ $0{,}1$ $0{,}069$ $6{,}9$

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Réponse D. Il faut $0{,}1t \approx 0{,}69$ , soit $t \approx 6{,}9$ .
Question 19 sur 20Pour la suite de terme général $u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ , $u_2$ vaut
$2$ $\dfrac94$ $\dfrac{64}{27}$ $4$

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Réponse B. $\left(\dfrac32\right)^2 = \dfrac94$ .
Question 20 sur 20Quand $n$ devient grand, les termes de la suite de terme général $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ se rapprochent de
$\mathrm{e}$ $1$ $2$ un nombre de plus en plus grand

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Réponse A. C'est la méthode d'Euler avec un pas de $\dfrac{1}{n}$ : elle approche $\exp(1) = \mathrm{e}$ . La réponse B est le piège de la machine, qui arrondit $1 + \dfrac{1}{n}$ à $1$ pour de très grandes valeurs de $n$ .