Construire l'exponentielle par la méthode d'Euler

2.1 L'idée

On sait que $\exp$ existe, mais on ne sait pas calculer $\exp(1)$. La méthode d'Euler avance à petits pas en suivant la tangente. Pour $h$ proche de $0$, l'approximation par la tangente donne $f(x + h) \approx f(x) + h\,f'(x).$ Pour la fonction exponentielle, $f'(x) = f(x)$, donc $f(x + h) \approx f(x) + h\,f(x)$, c'est-à-dire $f(x + h) \approx (1 + h)\,f(x).$ Avancer d'un pas $h$ revient à multiplier par $1 + h$.

2.2 À la main

Exemple 5 (pas de $0{,}5$). On part de $x = 0$, où $y = 1$.

$x$	$0$	$0{,}5$	$1$
$y$	$1$	$1 \times 1{,}5 = 1{,}5$	$1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$

On obtient $\exp(1) \approx 2{,}25$, une approximation grossière : la ligne brisée reste sous la courbe.

Exemple 6 (pas de $0{,}25$). Il faut quatre pas pour atteindre $1$, et chaque pas multiplie par $1{,}25$.

$x$	$0$	$0{,}25$	$0{,}5$	$0{,}75$	$1$
$y$	$1$	$1{,}25$	$1{,}56$	$1{,}95$	$2{,}44$

Plus le pas est petit, meilleure est l'approximation, mais plus il y a de calculs.

2.3 Le programme Python

def euler(h, n):
    y = 1
    Y = [y]
    for i in range(n):
        y = y + h * y
        Y.append(y)
    return Y

La fonction euler reçoit le pas h et le nombre de pas n. Elle renvoie la liste des valeurs $y$. La ligne y = y + h * y s'écrit en langage naturel $y \leftarrow y + h \times y$.

2.4 Les résultats

Exemple 7. Pour atteindre $x = 1$, on lit le dernier terme de la liste.

Appel	Résultat affiché
euler(0.5, 2)	[1, 1.5, 2.25]
euler(0.1, 10)[10]	2.5937424601
euler(0.01, 100)[100]	2.704813829421526
euler(0.001, 1000)[1000]	2.716923932235896

Python donne lui-même exp(1) (avec from math import exp) : 2.718281828459045. Les valeurs s'en approchent quand le pas diminue.

2.5 Vers la gauche

Avec un pas négatif, on avance vers la gauche.

Exemple 8. Avec euler(-0.1, 10)[10], on arrive en $x = -1$. Le programme affiche 0.3486784401, alors que exp(-1) vaut 0.36787944117144233. Chaque pas multiplie par $1 + h = 0{,}9$ : la valeur diminue, sans s'annuler.

2.6 Une suite géométrique

À chaque pas, on multiplie par $1 + h$. Après $n$ pas, on a donc $y_n = (1 + h)^n.$ Les valeurs calculées forment une suite géométrique de raison $1 + h$. Cette remarque sert aux leçons 3, 7 et 9.