Fonction exponentielle

Leçon 1 : Définition de la fonction exponentielle

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1.1 Une grandeur qui pousse d'autant plus vite qu'elle est grande

Un levain est un mélange de farine et d'eau qui fermente pour faire du pain. Plus il y en a, plus il gonfle vite : deux fois plus de levain, c'est une vitesse deux fois plus grande. Si $f(t)$ est la masse à l'instant $t$, la vitesse à laquelle elle change est le nombre dérivé $f'(t)$, et la situation s'écrit $f'(t) = k\,f(t).$ Le cas le plus simple est $k = 1$ : on cherche une fonction égale à sa dérivée.

1.2 Aucune fonction connue ne convient

À chaque fois, la fonction change de forme. Pour un polynôme, c'est même impossible : la dérivée d'un polynôme non nul a un degré de moins, donc elle ne lui est jamais égale. Seule la fonction nulle est égale à sa dérivée parmi les polynômes, et elle ne nous apprend rien.

1.3 Définition

Définition. Il existe une unique fonction $f$, dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que $f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1.$ Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle. On la note $\exp$, et on lit « exp de $x$ » pour $\exp(x)$.

L'existence et l'unicité sont admises. On retient donc : $\exp' = \exp \quad \text{et} \quad \exp(0) = 1.$

1.4 Sur la courbe

Dire que $\exp'(x) = \exp(x)$, c'est dire que la pente de la tangente en un point de la courbe est égale à l'ordonnée de ce point. Plus la courbe est haute, plus elle est raide : plus elle monte, plus elle monte vite.

1.5 Tangente au point d'abscisse 0

On a $\exp'(0) = \exp(0) = 1$. La tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = \exp(0) + \exp'(0)(x - 0)$, soit $y = x + 1.$ Près de $0$, la courbe et sa tangente se confondent presque. C'est l'approximation linéaire du chapitre 5 : pour $h$ proche de $0$, $\exp(h) \approx 1 + h.$

Exemple 1. $\exp(0{,}01) \approx 1{,}01$ et $\exp(-0{,}02) \approx 0{,}98$.

1.6 Dériver avec exp

La fonction $\exp$ se dérive avec les règles habituelles (somme, produit, quotient).

Exemple 2. Soit $f(x) = 3\exp(x) + x^2$. Alors $f'(x) = 3\exp(x) + 2x$.

Exemple 3. Soit $g(x) = x\exp(x)$. C'est un produit, avec $u(x) = x$ et $v(x) = \exp(x)$ : $g'(x) = 1 \times \exp(x) + x \times \exp(x) = (x + 1)\exp(x).$

1.7 Une autre valeur de départ

Soit $c$ un réel et $f(x) = c\exp(x)$. Alors $f'(x) = c\exp(x) = f(x)$ et $f(0) = c\exp(0) = c$. La fonction $x \mapsto c\exp(x)$ est égale à sa dérivée et vaut $c$ en $0$.

Exemple 4. La fonction $x \mapsto 5\exp(x)$ est égale à sa dérivée et vaut $5$ en $0$.

Leçon 2 : Construire l'exponentielle par la méthode d'Euler

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2.1 L'idée

On sait que $\exp$ existe, mais on ne sait pas calculer $\exp(1)$. La méthode d'Euler avance à petits pas en suivant la tangente. Pour $h$ proche de $0$, l'approximation par la tangente donne $f(x + h) \approx f(x) + h\,f'(x).$ Pour la fonction exponentielle, $f'(x) = f(x)$, donc $f(x + h) \approx f(x) + h\,f(x)$, c'est-à-dire $f(x + h) \approx (1 + h)\,f(x).$ Avancer d'un pas $h$ revient à multiplier par $1 + h$.

2.2 À la main

Exemple 5 (pas de $0{,}5$). On part de $x = 0$, où $y = 1$.

$x$	$0$	$0{,}5$	$1$
$y$	$1$	$1 \times 1{,}5 = 1{,}5$	$1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$

On obtient $\exp(1) \approx 2{,}25$, une approximation grossière : la ligne brisée reste sous la courbe.

Exemple 6 (pas de $0{,}25$). Il faut quatre pas pour atteindre $1$, et chaque pas multiplie par $1{,}25$.

$x$	$0$	$0{,}25$	$0{,}5$	$0{,}75$	$1$
$y$	$1$	$1{,}25$	$1{,}56$	$1{,}95$	$2{,}44$

Plus le pas est petit, meilleure est l'approximation, mais plus il y a de calculs.

2.3 Le programme Python

def euler(h, n):
    y = 1
    Y = [y]
    for i in range(n):
        y = y + h * y
        Y.append(y)
    return Y

La fonction euler reçoit le pas h et le nombre de pas n. Elle renvoie la liste des valeurs $y$. La ligne y = y + h * y s'écrit en langage naturel $y \leftarrow y + h \times y$.

2.4 Les résultats

Exemple 7. Pour atteindre $x = 1$, on lit le dernier terme de la liste.

Appel	Résultat affiché
euler(0.5, 2)	[1, 1.5, 2.25]
euler(0.1, 10)[10]	2.5937424601
euler(0.01, 100)[100]	2.704813829421526
euler(0.001, 1000)[1000]	2.716923932235896

Python donne lui-même exp(1) (avec from math import exp) : 2.718281828459045. Les valeurs s'en approchent quand le pas diminue.

2.5 Vers la gauche

Avec un pas négatif, on avance vers la gauche.

Exemple 8. Avec euler(-0.1, 10)[10], on arrive en $x = -1$. Le programme affiche 0.3486784401, alors que exp(-1) vaut 0.36787944117144233. Chaque pas multiplie par $1 + h = 0{,}9$ : la valeur diminue, sans s'annuler.

2.6 Une suite géométrique

À chaque pas, on multiplie par $1 + h$. Après $n$ pas, on a donc $y_n = (1 + h)^n.$ Les valeurs calculées forment une suite géométrique de raison $1 + h$. Cette remarque sert aux leçons 3, 7 et 9.

Leçon 3 : Relation fondamentale et nombre e

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3.1 Un constat

La machine donne $\exp(1) \approx 2{,}718$, $\exp(2) \approx 7{,}389$ et $\exp(3) \approx 20{,}086$. Or $2{,}718 \times 7{,}389 \approx 20{,}08$. Aux arrondis près, $\exp(1 + 2) = \exp(1) \times \exp(2)$ : une somme dans la parenthèse, un produit à l'arrivée.

3.2 D'où cela vient

La méthode d'Euler donne une explication. Avec un pas $h$ : $\exp(nh) \approx (1 + h)^n, \qquad \exp(mh) \approx (1 + h)^m,$ $\exp\big((n + m)h\big) \approx (1 + h)^{n + m} = (1 + h)^n \times (1 + h)^m.$ Avancer de deux longueurs revient à multiplier les deux facteurs. Ce n'est pas une démonstration, mais c'est la bonne idée.

3.3 La relation fondamentale

Propriété (admise). Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y).$

Les mots « pour tous » comptent : la relation est vraie quels que soient les deux nombres, positifs, négatifs ou nuls.

Exemple 9. $\exp(2) \times \exp(-5) = \exp(2 + (-5)) = \exp(-3)$.

3.4 Conséquences

En prenant $y = -x$, on obtient, pour tout réel $x$, $\exp(x)\exp(-x) = \exp(0) = 1.$

L'exponentielle ne s'annule jamais. Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe un réel $a$ tel que $\exp(a) = 0$. Alors $\exp(a)\exp(-a) = 0$. Or ce produit vaut $1$ : c'est impossible. Donc, pour tout réel $x$, $\exp(x) \neq 0$.

On peut alors diviser par $\exp(x)$ : $\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}.$

3.5 Le nombre $\mathrm{e}$

Définition. Le nombre $\mathrm{e}$ est l'image de $1$ par la fonction exponentielle : $\mathrm{e} = \exp(1) \approx 2{,}718.$

Avec la relation fondamentale :

• $\exp(2) = \exp(1 + 1) = \mathrm{e} \times \mathrm{e} = \mathrm{e}^2$ ;
• $\exp(3) = \mathrm{e}^3$ ;
• $\exp(-1) = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

Plus généralement, pour tout entier relatif $n$, $\exp(n) = \mathrm{e}^n$.

3.6 La notation $\mathrm{e}^x$

Cette écriture est si pratique qu'on l'étend à tous les réels.

Notation. Pour tout réel $x$, on note $\exp(x) = \mathrm{e}^x$.

Pour $x$ non entier, ce n'est pas un produit de facteurs répétés : c'est une notation. Elle est bien choisie, car les règles sont celles des puissances : $\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x\,\mathrm{e}^y, \qquad \mathrm{e}^x\,\mathrm{e}^{-x} = 1, \qquad \mathrm{e}^0 = 1, \qquad \mathrm{e}^1 = \mathrm{e}.$

Automatisme. On écrit désormais $\mathrm{e}^x$ partout. La dérivée de $x \mapsto \mathrm{e}^x$ est $x \mapsto \mathrm{e}^x$.

Leçon 4 : Transformer une expression

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4.1 Quatre règles

Propriétés. Pour tous réels $a$ et $b$, et pour tout entier relatif $n$ :

Le quotient vient de l'inverse : diviser par $\mathrm{e}^b$, c'est multiplier par $\mathrm{e}^{-b}$. Pour la puissance, multiplier $n$ fois par $\mathrm{e}^a$ revient à ajouter $n$ fois $a$ dans l'exposant.

4.2 Avec des nombres

Exemple 10.

• $\mathrm{e}^3 \times \mathrm{e}^{-5} = \mathrm{e}^{3 - 5} = \mathrm{e}^{-2}$
• $\dfrac{\mathrm{e}^5}{\mathrm{e}^2} = \mathrm{e}^{5 - 2} = \mathrm{e}^3$
• $\left(\mathrm{e}^2\right)^3 = \mathrm{e}^{2 \times 3} = \mathrm{e}^6$
• $\dfrac{\left(\mathrm{e}^3\right)^2 \times \mathrm{e}^{-1}}{\mathrm{e}^4} = \mathrm{e}^{6 - 1 - 4} = \mathrm{e}$

4.3 Avec une variable

Exemple 11. Pour tout réel $x$ :

• $\mathrm{e}^x \times \mathrm{e}^{2x + 1} = \mathrm{e}^{3x + 1}$
• $\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{x - 1}} = \mathrm{e}^{2x - (x - 1)} = \mathrm{e}^{x + 1}$ : on retranche tout l'exposant du bas.
• $\left(\mathrm{e}^x\right)^3 \times \mathrm{e}^{-2x} = \mathrm{e}^{3x - 2x} = \mathrm{e}^x$

4.4 Développer, factoriser

Les identités remarquables et la mise en facteur s'appliquent.

Exemple 12.

• $\left(\mathrm{e}^x + 1\right)^2 = \mathrm{e}^{2x} + 2\mathrm{e}^x + 1$
• $\left(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}\right)^2 = \mathrm{e}^{2x} + 2 + \mathrm{e}^{-2x}$ : le double produit vaut $2\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{e}^{-x} = 2$.
• $x\mathrm{e}^x + 2\mathrm{e}^x = (x + 2)\mathrm{e}^x$
• $\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x\left(\mathrm{e}^x - 1\right)$

4.5 Une fraction

Un exposant négatif disparait souvent en multipliant le haut et le bas par $\mathrm{e}^x$, ce qui est permis, car ce nombre n'est jamais nul.

Exemple 13. $\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{1 + \mathrm{e}^{-x}} = \dfrac{\mathrm{e}^{-x} \times \mathrm{e}^x}{\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right) \times \mathrm{e}^x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^x + 1}$.

4.6 Trois pièges

Attention.

• Une somme ne se simplifie pas : $\mathrm{e}^a + \mathrm{e}^b$ n'est pas égal à $\mathrm{e}^{a + b}$. Pour $a = b = 0$, on trouverait $2$ et $1$.
• $\mathrm{e}^{2x}$ n'est pas égal à $2\mathrm{e}^x$. Pour $x = 0$, on trouverait $1$ et $2$.
• $\left(\mathrm{e}^x\right)^2 = \mathrm{e}^{2x}$, et non $\mathrm{e}^{x^2}$. Pour $x = 1$, on trouverait $\mathrm{e}^2$ et $\mathrm{e}$.

Automatisme. En cas de doute sur une égalité, teste une valeur simple, souvent $x = 0$ ou $x = 1$.

Leçon 5 : Signe, sens de variation et courbe

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5.1 Signe

Propriété. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x > 0$.

En effet, $\mathrm{e}^x = \left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\right)^2$ : c'est un carré, donc il est positif ou nul. Et il n'est pas nul, car l'exponentielle ne s'annule jamais.

5.2 Sens de variation

Propriété. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

En effet, sa dérivée est elle-même, et elle est strictement positive.

Les deux extrémités du tableau restent vides : le comportement à l'infini sera étudié en Terminale.

5.3 Courbe

La courbe de la fonction exponentielle :

• passe par les points $(0\,;1)$ et $(1\,;\mathrm{e})$ ;
• reste au-dessus de l'axe des abscisses ; à gauche, elle s'en rapproche sans jamais le toucher ;
• monte de plus en plus vite à droite : $\mathrm{e}^{10} > 20\,000$ ;
• a pour tangente $y = x + 1$ au point d'abscisse $0$ ;
• a pour tangente $y = \mathrm{e}\,x$ au point d'abscisse $1$, qui passe par l'origine du repère. En effet, cette tangente a pour équation $y = \mathrm{e} + \mathrm{e}(x - 1) = \mathrm{e}\,x$.

5.4 Comparer deux exponentielles

La fonction étant strictement croissante, pour tous réels $a$ et $b$ : $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b, \qquad \mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b.$ En particulier, $\mathrm{e}^x = 1 \iff x = 0$, et $\mathrm{e}^x > 1 \iff x > 0$.

5.5 Résoudre

Exemple 14. $\mathrm{e}^{3x - 1} = \mathrm{e}^{x + 5} \iff 3x - 1 = x + 5 \iff x = 3$.

Exemple 15. Comme $1 = \mathrm{e}^0$, on a $\mathrm{e}^{2x - 6} \geq 1 \iff 2x - 6 \geq 0 \iff x \geq 3$.

Exemple 16. Résolvons $\mathrm{e}^{2x} + \mathrm{e}^x - 2 = 0$. On pose $X = \mathrm{e}^x$, et l'équation devient $X^2 + X - 2 = 0$, de racines $1$ et $-2$. L'équation $\mathrm{e}^x = 1$ donne $x = 0$. L'équation $\mathrm{e}^x = -2$ n'a pas de solution, car une exponentielle est strictement positive. La seule solution est $0$.

Attention. Une équation comme $\mathrm{e}^x = 2$ a bien une solution, mais nos outils ne permettent pas de l'écrire exactement. On utilise alors une valeur approchée donnée (leçon 8).

5.6 Une inégalité à connaitre

Propriété. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x \geq x + 1$. La courbe reste au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $0$.

Pourquoi ? Soit $\varphi(x) = \mathrm{e}^x - x - 1$. Alors $\varphi'(x) = \mathrm{e}^x - 1$. La fonction exponentielle est strictement croissante et vaut $1$ en $0$ : $\varphi'(x)$ est négatif avant $0$ et positif après.

Le minimum de $\varphi$ vaut $\varphi(0) = 0$. Donc $\varphi(x) \geq 0$ pour tout réel $x$.

5.7 Une étude complète

Exemple 17. Soit $f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$. C'est un produit : $f'(x) = 1 \times \mathrm{e}^x + (x - 1)\mathrm{e}^x = x\mathrm{e}^x.$ Comme $\mathrm{e}^x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $x$.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		décroissante	$-1$	croissante

Le minimum de $f$ vaut $f(0) = -1$.

Automatisme. Dans une dérivée, on met $\mathrm{e}^x$ en facteur : ce facteur est strictement positif, et le signe se lit sur ce qui reste.

Leçon 6 : La fonction t ↦ exp(at)

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6.1 Un premier cas

Soit $g(t) = \mathrm{e}^{2t} = \mathrm{e}^t \times \mathrm{e}^t$. C'est un produit, avec $u = v = \exp$ : $g'(t) = \mathrm{e}^t \times \mathrm{e}^t + \mathrm{e}^t \times \mathrm{e}^t = 2\,\mathrm{e}^{2t}.$

6.2 La formule

Propriété. Pour tout réel $a$, la fonction $t \mapsto \mathrm{e}^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et sa dérivée est $t \mapsto a\,\mathrm{e}^{at}.$

Pourquoi ? Si $a = 0$, la fonction est constante, et la formule reste vraie. Si $a \neq 0$, soit $g(t) = \mathrm{e}^{at}$. Le taux de variation entre $t$ et $t + h$ est $\frac{g(t + h) - g(t)}{h} = \frac{\mathrm{e}^{at + ah} - \mathrm{e}^{at}}{h} = \mathrm{e}^{at} \times \frac{\mathrm{e}^{ah} - 1}{h} = a\,\mathrm{e}^{at} \times \frac{\mathrm{e}^{ah} - 1}{ah}.$ Avec $H = ah$, le dernier quotient $\dfrac{\mathrm{e}^H - 1}{H}$ est le taux de variation de $\exp$ entre $0$ et $H$. Quand $h$ se rapproche de $0$, $H$ aussi, et ce taux se rapproche de $\exp'(0) = 1$. Il reste $a\,\mathrm{e}^{at}$.

Exemple 18.

• $\mathrm{e}^{3t}$ a pour dérivée $3\mathrm{e}^{3t}$.
• $\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ a pour dérivée $-0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.
• $4\mathrm{e}^{-2t} + t$ a pour dérivée $-8\mathrm{e}^{-2t} + 1$.

Exemple 19 (un produit). Soit $f(t) = t\mathrm{e}^{-t}$. Alors $f'(t) = 1 \times \mathrm{e}^{-t} + t \times \left(-\mathrm{e}^{-t}\right) = (1 - t)\mathrm{e}^{-t}$.

6.3 Sens de variation

Comme $\mathrm{e}^{at} > 0$, la dérivée $a\,\mathrm{e}^{at}$ a le signe de $a$.

6.4 Les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$

Soit $k$ un réel strictement positif. Toutes les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$ passent par le point $(0\,;1)$, et la pente de la tangente en ce point vaut $k$. Plus $k$ est grand, plus la courbe est raide. Toutes ces fonctions sont strictement croissantes.

6.5 Les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$

La valeur de $\mathrm{e}^{-kt}$ en $t$ est la valeur de $\mathrm{e}^{kt}$ en $-t$. La courbe de $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$ est donc la symétrique de celle de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$ par rapport à l'axe des ordonnées. Elle passe par $(0\,;1)$, avec une pente égale à $-k$, et la fonction est strictement décroissante.

6.6 Représenter à la main

Trois points et une tangente suffisent.

Exemple 20. Représentons $t \mapsto \mathrm{e}^{-0{,}5t}$.

$t$	$-2$	$0$	$2$
$\mathrm{e}^{-0{,}5t}$	$\mathrm{e} \approx 2{,}72$	$1$	$\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37$

La tangente au point $(0\,;1)$ a pour pente $-0{,}5$. On relie les points par une courbe lisse, qui reste au-dessus de l'axe des abscisses.

Leçon 7 : Lien avec les suites géométriques

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7.1 La suite de terme général $\mathrm{e}^{na}$

Propriété. Pour tout réel $a$, la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \mathrm{e}^{na}$ est géométrique, de raison $\mathrm{e}^a$ et de premier terme $u_0 = 1$.

En effet, pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1} = \mathrm{e}^{(n + 1)a} = \mathrm{e}^{na} \times \mathrm{e}^a = u_n \times \mathrm{e}^a.$ On peut aussi écrire $u_n = \left(\mathrm{e}^a\right)^n$.

7.2 Sur la courbe

Exemple 21. Pour des abscisses espacées de $0{,}5$, chaque ordonnée s'obtient en multipliant la précédente par $\mathrm{e}^{0{,}5} \approx 1{,}65$.

$x$	$0$	$0{,}5$	$1$	$1{,}5$	$2$
$\mathrm{e}^x$ (valeur approchée)	$1$	$1{,}65$	$2{,}72$	$4{,}48$	$7{,}39$

Ajouter un même nombre à l'abscisse revient à multiplier l'ordonnée par un même nombre.

7.3 Sens de variation

Exemple 22. Pour $a = -1$ : $u_0 = 1$, $u_1 \approx 0{,}37$, $u_2 \approx 0{,}14$, $u_3 \approx 0{,}05$. Les termes semblent se rapprocher de $0$.

7.4 Un capital, en temps discret

Exemple 23. On place $1000$ euros à $3\,\%$ par an, avec des intérêts versés une fois par an. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$. Au bout de $n$ années, il vaut $u_n = 1000 \times 1{,}03^n.$ C'est une suite géométrique : le temps avance par sauts. On obtient $u_{10} \approx 1344$ euros.

7.5 Le même capital, en temps continu

Exemple 24. Imaginons des intérêts versés en continu : à chaque instant, le capital grandit à une vitesse égale à $3\,\%$ de sa valeur. On a $f' = 0{,}03\,f$ et $f(t) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}03t},$ où $t$ est un réel positif. Pour tout $n$ entier, $f(n + 1) = f(n) \times \mathrm{e}^{0{,}03}$, avec $\mathrm{e}^{0{,}03} \approx 1{,}0305$ : aux instants entiers, on retrouve une suite géométrique. Et $f(10) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}3} \approx 1350$ euros. Les deux modèles sont très proches.

7.6 Discret et continu

Les deux modèles sont reliés par $q = \mathrm{e}^k$. À partir de $k$, on calcule $q$. L'inverse, retrouver $k$ à partir de $q$, demandera un outil de Terminale.

7.7 Un peu d'histoire

La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVIIe siècle. On cherche alors à traiter des phénomènes de croissance comparables à ceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait apparaitre naturellement la caractérisation de ce chapitre : la seule fonction telle que $y' = y$ et $y(0) = 1$.

Leçon 8 : Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

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8.1 Reconnaitre une évolution exponentielle

• En continu : la vitesse de variation est proportionnelle à la valeur, $f' = k\,f$. Alors $f(t) = f(0)\,\mathrm{e}^{kt}$. On le vérifie en dérivant, et on admet que c'est la seule possibilité.
• Sur des mesures à intervalles réguliers : le rapport de deux mesures successives est constant.

Si $k > 0$, c'est une croissance. Si $k < 0$, c'est une décroissance.

8.2 Une croissance : un levain

Exemple 25. Un levain pèse $50$ grammes à l'instant $0$, et sa masse suit $m(t) = 50\,\mathrm{e}^{0{,}2t}$, où $t$ est en heures. Alors $m'(t) = 10\,\mathrm{e}^{0{,}2t} = 0{,}2\,m(t) :$ la vitesse est bien proportionnelle à la masse.

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$m(t)$ (valeur approchée)	$50$	$61$	$75$	$91$	$111$

Le rapport de deux valeurs successives reste proche de $\mathrm{e}^{0{,}2} \approx 1{,}22$.

8.3 Une équation sans solution exacte à notre niveau

Exemple 26. Quand le levain aura-t-il triplé ? On cherche $t$ tel que $\mathrm{e}^{0{,}2t} = 3$. Nos outils ne permettent pas de résoudre cette équation de manière exacte. On utilise une valeur donnée : $\mathrm{e}^{1{,}1} \approx 3$. Il faut donc $0{,}2t \approx 1{,}1$, soit $t \approx 5{,}5$. Le levain triple en $5$ h $30$ min environ. Et comme $m(t + 5{,}5) \approx 3\,m(t)$, il triple encore pendant les $5$ h $30$ min suivantes, quelle que soit sa masse.

8.4 Une décroissance radioactive

Le nombre de noyaux qui disparaissent en une année est proportionnel au nombre de noyaux présents.

Exemple 27. Pour le césium 137, $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-0{,}023t}$, où $t$ est en années. Avec $\mathrm{e}^{-0{,}69} \approx 0{,}5$ : $N(30) = N_0\,\mathrm{e}^{-0{,}023 \times 30} = N_0\,\mathrm{e}^{-0{,}69} \approx 0{,}5\,N_0.$ La moitié des noyaux a disparu.

8.5 La demi-vie

Pour tout instant $t$, $N(t + 30) = N(t) \times \mathrm{e}^{-0{,}69} \approx 0{,}5\,N(t)$ : à partir de n'importe quel instant, il faut $30$ ans pour diviser par deux. Cette durée s'appelle la demi-vie.

Selon le modèle, la courbe ne touche jamais l'axe des abscisses.

8.6 Une dilution

Exemple 28. Un bassin de $1000$ litres contient un colorant, à la concentration de $8$ grammes par litre. On fait entrer de l'eau claire, et le mélange sort au même débit, $100$ litres par minute. La concentration suit $c(t) = 8\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$, où $t$ est en minutes.

Après $10$ minutes, $c(10) = 8\,\mathrm{e}^{-1} \approx 2{,}9$ grammes par litre. De plus, $c'(t) = -0{,}8\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$, donc $c'(0) = -0{,}8$ : au départ, la concentration baisse de $0{,}8$ gramme par litre par minute, puis de moins en moins vite.

8.7 La méthode

1. Repérer ce qui est proportionnel ; fixer la variable et son unité.
2. Écrire $f(t) = f(0)\,\mathrm{e}^{kt}$, avec le bon signe de $k$.
3. Dériver : sens de variation et vitesse.
4. Répondre, avec une valeur donnée si l'équation ne se résout pas.
5. Conclure par une phrase, avec l'unité. Un modèle a ses limites : il décrit bien la réalité sur une certaine période seulement.

Leçon 9 : Valeur approchée de e avec Python

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9.1 Des intérêts de plus en plus fréquents

Un euro est placé un an à $100\,\%$.

Plus on verse souvent, plus on gagne, mais le gain semble se stabiliser.

9.2 Le lien avec la méthode d'Euler

Avec un pas $h = \dfrac{1}{n}$, on atteint $x = 1$ en $n$ pas, et chaque pas multiplie par $1 + \dfrac{1}{n}$. On obtient exactement $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx \exp(1) = \mathrm{e},$ une valeur approchée d'autant meilleure que $n$ est grand.

9.3 Le programme

def u(n):
    return (1 + 1 / n) ** n

for k in range(1, 7):
    n = 10 ** k
    print(n, u(n))

9.4 Les résultats

Exemple 29.

n	u(n)
10	2.5937424601000023
100	2.7048138294215285
1000	2.7169239322355936
10000	2.7181459268249255
100000	2.7182682371922975
1000000	2.7182804690957534

Python donne e (avec from math import e) : 2.718281828459045. Pour $n = 1\,000\,000$, cinq décimales sont justes. Chaque fois que $n$ est multiplié par $10$, on gagne environ une décimale.

Ces résultats permettent de conjecturer que la suite se rapproche de $\mathrm{e}$ quand $n$ devient grand. L'exercice 18 le justifie par un encadrement.

9.5 Un seuil

from math import e

def seuil(p):
    n = 1
    while e - u(n) >= p:
        n = n + 1
    return n

Exemple 30. seuil(0.1) renvoie 13 et seuil(0.01) renvoie 135.

9.6 Les limites de la machine

Exemple 31. u(10**15) affiche 3.035035206549262, et u(10**16) affiche 1.0. La machine garde un nombre limité de chiffres : pour $n = 10^{16}$, elle remplace $1 + \dfrac{1}{n}$ par $1$, et $1^n = 1$. Ce n'est pas la suite qui a changé, c'est le calcul. Un résultat numérique se vérifie toujours.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Définition : $\exp$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$. On note $\exp(x) = \mathrm{e}^x$, avec $\mathrm{e} = \exp(1) \approx 2{,}718$.
2. Euler : un pas $h$ multiplie la valeur par $1 + h$ ; après $n$ pas, on obtient $(1 + h)^n$.
3. Calculs : $\mathrm{e}^{a + b} = \mathrm{e}^a\,\mathrm{e}^b$, $\mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^a}$, $\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^{a - b}$, $\left(\mathrm{e}^a\right)^n = \mathrm{e}^{na}$. Une somme d'exponentielles ne se simplifie pas.
4. Étude : $\mathrm{e}^x > 0$, et $\exp$ est strictement croissante. Tangentes $y = x + 1$ en $0$ et $y = \mathrm{e}\,x$ en $1$. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x \geq x + 1$.
5. Comparer : $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ et $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$.
6. Dérivée : $t \mapsto \mathrm{e}^{at}$ a pour dérivée $t \mapsto a\,\mathrm{e}^{at}$. Croissante si $a > 0$, décroissante si $a < 0$.
7. Courbes : pour $k > 0$, celles de $\mathrm{e}^{kt}$ et de $\mathrm{e}^{-kt}$ passent par $(0\,;1)$ et sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
8. Suites : $\left(\mathrm{e}^{na}\right)$ est géométrique de raison $\mathrm{e}^a$ ; temps discret et temps continu sont reliés par $q = \mathrm{e}^k$.
9. Modéliser : $f' = k\,f$ donne $f(t) = f(0)\,\mathrm{e}^{kt}$. La demi-vie est la durée qui divise la quantité par deux.
10. Le nombre e : la suite de terme général $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ en donne des valeurs approchées.

Rituel d'automatismes

Douze questions à réponses courtes, sans calculatrice, à faire en dix minutes environ : six sur ce chapitre, six sur des automatismes déjà travaillés. C'est le format de la première partie de l'épreuve anticipée. Télécharger le rituel du chapitre 11 (PDF, avec son corrigé).