Transformer une expression

4.1 Quatre règles

Propriétés. Pour tous réels $a$ et $b$, et pour tout entier relatif $n$ :

Le quotient vient de l'inverse : diviser par $\mathrm{e}^b$, c'est multiplier par $\mathrm{e}^{-b}$. Pour la puissance, multiplier $n$ fois par $\mathrm{e}^a$ revient à ajouter $n$ fois $a$ dans l'exposant.

4.2 Avec des nombres

Exemple 10.

• $\mathrm{e}^3 \times \mathrm{e}^{-5} = \mathrm{e}^{3 - 5} = \mathrm{e}^{-2}$
• $\dfrac{\mathrm{e}^5}{\mathrm{e}^2} = \mathrm{e}^{5 - 2} = \mathrm{e}^3$
• $\left(\mathrm{e}^2\right)^3 = \mathrm{e}^{2 \times 3} = \mathrm{e}^6$
• $\dfrac{\left(\mathrm{e}^3\right)^2 \times \mathrm{e}^{-1}}{\mathrm{e}^4} = \mathrm{e}^{6 - 1 - 4} = \mathrm{e}$

4.3 Avec une variable

Exemple 11. Pour tout réel $x$ :

• $\mathrm{e}^x \times \mathrm{e}^{2x + 1} = \mathrm{e}^{3x + 1}$
• $\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{x - 1}} = \mathrm{e}^{2x - (x - 1)} = \mathrm{e}^{x + 1}$ : on retranche tout l'exposant du bas.
• $\left(\mathrm{e}^x\right)^3 \times \mathrm{e}^{-2x} = \mathrm{e}^{3x - 2x} = \mathrm{e}^x$

4.4 Développer, factoriser

Les identités remarquables et la mise en facteur s'appliquent.

Exemple 12.

• $\left(\mathrm{e}^x + 1\right)^2 = \mathrm{e}^{2x} + 2\mathrm{e}^x + 1$
• $\left(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}\right)^2 = \mathrm{e}^{2x} + 2 + \mathrm{e}^{-2x}$ : le double produit vaut $2\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{e}^{-x} = 2$.
• $x\mathrm{e}^x + 2\mathrm{e}^x = (x + 2)\mathrm{e}^x$
• $\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x\left(\mathrm{e}^x - 1\right)$

4.5 Une fraction

Un exposant négatif disparait souvent en multipliant le haut et le bas par $\mathrm{e}^x$, ce qui est permis, car ce nombre n'est jamais nul.

Exemple 13. $\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{1 + \mathrm{e}^{-x}} = \dfrac{\mathrm{e}^{-x} \times \mathrm{e}^x}{\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right) \times \mathrm{e}^x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^x + 1}$.

4.6 Trois pièges

Attention.

• Une somme ne se simplifie pas : $\mathrm{e}^a + \mathrm{e}^b$ n'est pas égal à $\mathrm{e}^{a + b}$. Pour $a = b = 0$, on trouverait $2$ et $1$.
• $\mathrm{e}^{2x}$ n'est pas égal à $2\mathrm{e}^x$. Pour $x = 0$, on trouverait $1$ et $2$.
• $\left(\mathrm{e}^x\right)^2 = \mathrm{e}^{2x}$, et non $\mathrm{e}^{x^2}$. Pour $x = 1$, on trouverait $\mathrm{e}^2$ et $\mathrm{e}$.

Automatisme. En cas de doute sur une égalité, teste une valeur simple, souvent $x = 0$ ou $x = 1$.