Échantillon d'une loi, somme et moyenne

5.1 Échantillon de taille n

Définition. Un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité est une liste $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ de variables aléatoires indépendantes et identiques, suivant toutes cette loi.

Un échantillon modélise $n$ répétitions indépendantes d'une même expérience. On note $X$ une variable de cette loi, et : $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \qquad \text{et} \qquad M_n = \frac{S_n}{n}.$ $S_n$ est la somme de l'échantillon, $M_n$ sa moyenne.

5.2 La somme

Propriété. $E(S_n) = n\,E(X)$, $\;V(S_n) = n\,V(X)$ et $\sigma(S_n) = \sqrt{n}\;\sigma(X)$.

Justification. Par linéarité, $E(S_n)$ est la somme de $n$ termes égaux à $E(X)$. Les $X_i$ sont indépendantes : par additivité, $V(S_n)$ est la somme de $n$ termes égaux à $V(X)$. Enfin, $\sigma(S_n) = \sqrt{n\,V(X)} = \sqrt{n}\;\sigma(X)$.

Attention. L'écart type est multiplié par $\sqrt{n}$, et non par $n$.

5.3 La moyenne

Propriété. $E(M_n) = E(X)$, $\;V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$.

Justification. $M_n = \dfrac1n\,S_n$. Avec $a = \dfrac1n$ : $E(M_n) = \frac1n \times n\,E(X) = E(X) \qquad \text{et} \qquad V(M_n) = \frac{1}{n^2} \times n\,V(X) = \frac{V(X)}{n}.$ Enfin, $\sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{V(X)}{n}} = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$.

La moyenne a la même espérance que $X$, mais sa dispersion diminue quand $n$ augmente. Le facteur $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est essentiel : pour diviser l'écart type par $2$, il faut $4$ fois plus de données ; pour le diviser par $10$, il en faut $100$ fois plus.

5.4 Un exemple

Exemple 6 (les notes d'un gîte). La note $X$ laissée par un client d'un gîte suit la loi suivante.

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X = x)$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}4$

On trouve $E(X) = 4$ et $V(X) = 0{,}1 \times 2^2 + 0{,}2 \times 1^2 + 0{,}3 \times 0^2 + 0{,}4 \times 1^2 = 1$, donc $\sigma(X) = 1$. Les notes de $n$ clients pris au hasard forment un échantillon de cette loi.

$n$	$E(S_n)$	$V(S_n)$	$\sigma(S_n)$	$E(M_n)$	$V(M_n)$	$\sigma(M_n)$
$25$	$100$	$25$	$5$	$4$	$0{,}04$	$0{,}2$
$100$	$400$	$100$	$10$	$4$	$0{,}01$	$0{,}1$

Une note isolée s'écarte typiquement de $1$ point de l'espérance, une moyenne de cent notes de $0{,}1$ point. Le chapitre 16 précisera ce que cela implique pour les probabilités d'écart.

5.5 Un peu d'histoire

Au début du XIXe siècle, la modélisation des erreurs de mesure devient centrale. Après Legendre (1805), Gauss (1809, 1821) imagine une méthode des moindres carrés, qu'il applique avec succès à la prédiction de la position d'un astéroïde. Il propose de comprendre l'écart type comme une « erreur moyenne à craindre ».