Somme de deux variables aléatoires, linéarité de l'espérance

1.1 Rappels de Première

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi donne les probabilités $p_i = P(X = x_i)$ de ses valeurs $x_1, \ldots, x_m$.

• Espérance : $E(X) = \displaystyle\sum_i p_i\,x_i$. C'est la moyenne des valeurs, pondérée par les probabilités.
• Variance : $V(X) = \displaystyle\sum_i p_i\,\big(x_i - E(X)\big)^2$. C'est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance.
• Écart type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il mesure la dispersion de $X$ autour de $E(X)$, dans la même unité que $X$.

1.2 Somme de deux variables : un exemple

Exemple 1 (deux roues de loterie). Au marché de Noël, un stand propose deux roues. La première fait gagner $0$, $2$ ou $4$ euros, la seconde $0$ ou $5$ euros. On note $X$ le gain à la première roue, $Y$ le gain à la seconde, et $S = X + Y$ le gain total.

$x$	$0$	$2$	$4$
$P(X = x)$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

$y$	$0$	$5$
$P(Y = y)$	$0{,}8$	$0{,}2$

Les deux roues tournent séparément : ce sont deux épreuves indépendantes (chapitre 11), et la probabilité d'une issue est le produit des probabilités. Le tableau suivant donne, pour chaque issue, la valeur de $S$ et sa probabilité.

	$y = 0$	$y = 5$
$x = 0$	$S = 0$ ; $0{,}4$	$S = 5$ ; $0{,}1$
$x = 2$	$S = 2$ ; $0{,}24$	$S = 7$ ; $0{,}06$
$x = 4$	$S = 4$ ; $0{,}16$	$S = 9$ ; $0{,}04$

On en déduit la loi de $S$ :

$s$	$0$	$2$	$4$	$5$	$7$	$9$
$P(S = s)$	$0{,}4$	$0{,}24$	$0{,}16$	$0{,}1$	$0{,}06$	$0{,}04$

Calculons trois espérances :

• à partir de la loi de $S$ : $E(S) = 0 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}24 + 4 \times 0{,}16 + 5 \times 0{,}1 + 7 \times 0{,}06 + 9 \times 0{,}04 = 2{,}4$ ;
• $E(X) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}2 = 1{,}4$ ;
• $E(Y) = 0 \times 0{,}8 + 5 \times 0{,}2 = 1$.

On constate que $E(S) = E(X) + E(Y)$.

1.3 Pourquoi l'espérance d'une somme est la somme des espérances

On écrit l'espérance comme une moyenne pondérée sur l'ensemble des issues : c'est le même calcul, avant de regrouper les issues qui donnent la même valeur.

$E(S) = \sum_{\text{issues}} P(\text{issue}) \times (x + y) = \sum_{\text{issues}} P(\text{issue}) \times x + \sum_{\text{issues}} P(\text{issue}) \times y.$

Dans l'exemple 1, on regroupe dans la première somme les issues où $X$ prend une même valeur : $0{,}24 \times 2 + 0{,}06 \times 2 + 0{,}16 \times 4 + 0{,}04 \times 4 = 2 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}2 = E(X).$ De même, dans la seconde somme : $0{,}1 \times 5 + 0{,}06 \times 5 + 0{,}04 \times 5 = 5 \times 0{,}2 = E(Y).$

Ce raisonnement n'utilise pas l'indépendance des deux roues. On admet qu'il se généralise.

Propriété (linéarité de l'espérance). Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même univers, et pour tout réel $a$ : $E(X + Y) = E(X) + E(Y) \qquad \text{et} \qquad E(aX) = a\,E(X).$

Pour la seconde égalité, le nombre $a$ se met simplement en facteur : $\sum_i p_i\,(a\,x_i) = a \sum_i p_i\,x_i$.

Remarques.

• La linéarité vaut pour des variables quelconques, indépendantes ou non.
• Elle s'étend à plusieurs variables : $E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n)$.
• En particulier, $E(X - Y) = E(X) - E(Y)$.

1.4 La force de la linéarité : une espérance sans la loi

Exemple 2 (un camion-restaurant). Dans un camion-restaurant, un client paie un plat, à $9$ ou $12$ euros, et parfois un dessert à $4$ euros. On note $X$ le prix du plat et $Y$ le prix du dessert ($0$ s'il n'en prend pas) :

$x$	$9$	$12$
$P(X = x)$	$0{,}7$	$0{,}3$

$y$	$0$	$4$
$P(Y = y)$	$0{,}4$	$0{,}6$

Les deux choix ne sont pas indépendants, et l'on ne connaît pas la loi du ticket $T = X + Y$. Pourtant, $E(X) = 9 \times 0{,}7 + 12 \times 0{,}3 = 9{,}9$ et $E(Y) = 4 \times 0{,}6 = 2{,}4$, donc, par linéarité, $E(T) = 9{,}9 + 2{,}4 = 12{,}3.$ Le ticket moyen est de $12{,}30$ euros. Pour $80$ clients, on attend une recette de $80 \times 12{,}3 = 984$ euros.