Variables indépendantes et variance d'une somme

3.1 Variables indépendantes

Dans ce chapitre, comme dans le programme, les variables indépendantes sont toujours envisagées dans le cadre d'une succession d'épreuves indépendantes (chapitre 11).

Variables indépendantes. Dans une succession d'épreuves indépendantes, si $X$ ne dépend que d'une épreuve et $Y$ seulement d'une autre, on dit que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Connaître la valeur de $X$ n'apprend alors rien sur $Y$ : pour toutes valeurs $x$ et $y$, $P(X = x \text{ et } Y = y) = P(X = x) \times P(Y = y).$

Les gains $X$ et $Y$ des deux roues de l'exemple 1 sont indépendants. L'indépendance fait partie du modèle : on la justifie par la situation, on ne cherche pas à la démontrer.

3.2 L'additivité de la variance

Propriété (admise). Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $V(X + Y) = V(X) + V(Y).$

Contrairement à la linéarité de l'espérance, cette égalité exige l'indépendance.

Exemple 1 (suite). $V(X) = 0{,}5 \times 1{,}4^2 + 0{,}3 \times 0{,}6^2 + 0{,}2 \times 2{,}6^2 = 2{,}44$ et $V(Y) = 0{,}8 \times 1^2 + 0{,}2 \times 4^2 = 4$. Avec la loi de $S$, la formule $V(S) = \sum_i p_i\,s_i^2 - E(S)^2$ donne $V(S) = 12{,}2 - 2{,}4^2 = 6{,}44$. C'est bien $2{,}44 + 4$.

3.3 Écarts types et différences

Ce sont les variances qui s'ajoutent, pas les écarts types. Dans l'exemple 1, $\sigma(S) = \sqrt{6{,}44} \approx 2{,}54$, alors que $\sigma(X) + \sigma(Y) \approx 1{,}56 + 2 = 3{,}56$.

Pour une différence, les variances s'ajoutent encore. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $X$ et $-Y$ le sont aussi, et $V(-Y) = (-1)^2\,V(Y) = V(Y)$. Donc $V(X - Y) = V(X) + V(-Y) = V(X) + V(Y).$

3.4 Sans indépendance

L'additivité peut être fausse si les variables ne sont pas indépendantes.

• Cas extrême. Avec $Y = X$ : $V(X + X) = V(2X) = 4\,V(X)$, et non $2\,V(X)$ (sauf si $V(X) = 0$).

Exemple 2 (suite). On connaît maintenant la répartition des quatre choix possibles au camion-restaurant.

Plat, dessert	$9$ ; $0$	$9$ ; $4$	$12$ ; $0$	$12$ ; $4$
Ticket $T$	$9$	$13$	$12$	$16$
Probabilité	$0{,}3$	$0{,}4$	$0{,}1$	$0{,}2$

Ces probabilités ne sont pas des produits : $P(X = 9 \text{ et } Y = 0) = 0{,}3$, alors que $P(X = 9) \times P(Y = 0) = 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}28$. On retrouve $E(T) = 12{,}3$, comme annoncé par la linéarité. Mais $V(T) = 6{,}21$, alors que $V(X) + V(Y) = 1{,}89 + 3{,}84 = 5{,}73$.

3.5 Plus de deux variables

Si $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sont associées à $n$ épreuves indépendantes, chacune à la sienne, elles sont indépendantes (au sens d'une indépendance de toutes les variables entre elles), et $V(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \cdots + V(X_n).$ On l'obtient de proche en proche : $X_1 + \cdots + X_{n-1}$ ne dépend que des $n - 1$ premières épreuves, donc elle est indépendante de $X_n$.