Devoir sur 20 : Sommes de variables aléatoires

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (6 points)

Répondre en justifiant brièvement. (1 point par question)

$E(X) = 4$ et $E(Y) = -1$ . Calculer $E(2X - 3Y + 1)$ .
$V(X) = 5$ . Calculer $V(7 - 2X)$ .
$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $V(X) = 3$ et $V(Y) = 1$ . Calculer $V(X - Y)$ et $\sigma(X - Y)$ .
$X$ suit la loi $\mathcal{B}(80\,;0{,}25)$ . Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ (arrondi au centième).
$(X_1, \ldots, X_{64})$ est un échantillon d'une loi d'espérance $10$ et d'écart type $4$ . Calculer $E(S_{64})$ , $\sigma(S_{64})$ , $E(M_{64})$ et $\sigma(M_{64})$ .
$X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;0{,}2)$ , et $E(X) = 30$ . Calculer $n$ , puis $V(X)$ .

Exercice 2 (5 points)

Cet exercice reprend la démonstration du programme.

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , et $X$ le nombre de succès.

Écrire $X$ comme une somme de $n$ variables de Bernoulli, que l'on définira. (1 point)
Démontrer que $E(X) = np$ . (1,5 point)
Démontrer que $V(X) = np(1 - p)$ . (1,5 point)
On prend $n = 2$ . Donner la loi de $X$ , puis retrouver $E(X)$ et $V(X)$ par le calcul direct. (1 point)

Exercice 3 (9 points)

Pour financer un voyage scolaire, des élèves vendent des tickets à gratter à $2$ euros l'unité.

Partie A (3 points). Le gain $G$ , en euros, de l'acheteur d'un ticket suit la loi suivante.

$g$	$0$	$5$	$20$
$P(G = g)$	$0{,}9$	$0{,}08$	$0{,}02$

Calculer $E(G)$ , $V(G)$ et $\sigma(G)$ (arrondi au centième). (1,5 point)
Le bénéfice des élèves sur un ticket est $B = 2 - G$ . Calculer $E(B)$ , $V(B)$ et $\sigma(B)$ . (1,5 point)

Partie B (3,5 points). Les élèves vendent $200$ tickets, dont les bénéfices forment un échantillon de la loi de $B$ . On note $S_{200}$ le bénéfice total et $M_{200}$ le bénéfice moyen par ticket.

Calculer $E(S_{200})$ , $V(S_{200})$ et $\sigma(S_{200})$ (arrondi au centième). (1,5 point)
Calculer $E(M_{200})$ et $\sigma(M_{200})$ (arrondi au centième). (1 point)
Combien de tickets faut-il vendre pour que le bénéfice total ait une espérance de $300$ euros ? (0,5 point)
Combien de tickets faudrait-il vendre pour diviser par $2$ l'écart type du bénéfice moyen $M_{200}$ ? (0,5 point)

Partie C (2,5 points). On considère toujours les $200$ tickets, dont on admet qu'ils sont indépendants. Un ticket est gagnant s'il rapporte $5$ ou $20$ euros à son acheteur.

On note $N$ le nombre de tickets gagnants. Donner sa loi, puis calculer $E(N)$ , $V(N)$ et $\sigma(N)$ (arrondi au centième). (1 point)
On note $N_5$ et $N_{20}$ les nombres de tickets à $5$ euros et à $20$ euros. Justifier que $S_{200} = 400 - 5N_5 - 20N_{20}$ , puis retrouver $E(S_{200})$ . (1 point)
Peut-on calculer $V(S_{200})$ en additionnant $V(5N_5)$ et $V(20N_{20})$ ? (0,5 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) Par linéarité, $E(2X - 3Y + 1) = 2 \times 4 - 3 \times (-1) + 1 = 12$ .

2. (1 pt) $V(7 - 2X) = (-2)^2 \times 5 = 20$ .

3. (1 pt) $V(X - Y) = V(X) + V(Y) = 4$ et $\sigma(X - Y) = 2$ .

4. (1 pt) $E(X) = 20$ ; $V(X) = 15$ ; $\sigma(X) = \sqrt{15} \approx 3{,}87$ .

5. (1 pt) $E(S_{64}) = 640$ ; $\sigma(S_{64}) = 8 \times 4 = 32$ ; $E(M_{64}) = 10$ ; $\sigma(M_{64}) = \dfrac48 = 0{,}5$ .

6. (1 pt) $0{,}2\,n = 30$ donne $n = 150$ , puis $V(X) = 30 \times 0{,}8 = 24$ .

Exercice 2

1. (1 pt) Pour $i$ de $1$ à $n$ , $X_i = 1$ si l'épreuve numéro $i$ est un succès, et $X_i = 0$ sinon. Additionner les $X_i$ revient à compter les succès : $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ .

2. (1,5 pt) Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X_i) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ . (0,5 pt) Par linéarité, $E(X) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = np$ . (1 pt)

3. (1,5 pt) $V(X_i) = (0 - p)^2(1 - p) + (1 - p)^2\,p = p(1 - p)$ . (0,5 pt) Chaque $X_i$ ne dépend que de l'épreuve numéro $i$ et les épreuves sont indépendantes, donc les $X_i$ sont indépendantes. (0,5 pt) Par additivité, $V(X) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = np(1 - p)$ . (0,5 pt)

4. (1 pt) $P(X = 0) = (1 - p)^2$ , $P(X = 1) = 2p(1 - p)$ , $P(X = 2) = p^2$ . Alors $E(X) = 2p(1 - p) + 2p^2 = 2p$ et $V(X) = 2p(1 - p) + 4p^2 - (2p)^2 = 2p(1 - p)$ .

Exercice 3

Partie A. 1. (1,5 pt) $E(G) = 5 \times 0{,}08 + 20 \times 0{,}02 = 0{,}8$ . $V(G) = 0{,}9 \times 0{,}8^2 + 0{,}08 \times 4{,}2^2 + 0{,}02 \times 19{,}2^2 = 9{,}36$ . $\sigma(G) \approx 3{,}06$ . 2. (1,5 pt) $E(B) = 2 - 0{,}8 = 1{,}2$ euro ; $V(B) = (-1)^2 \times 9{,}36 = 9{,}36$ ; $\sigma(B) \approx 3{,}06$ euros.

Partie B. 1. (1,5 pt) $E(S_{200}) = 200 \times 1{,}2 = 240$ euros ; $V(S_{200}) = 200 \times 9{,}36 = 1\,872$ ; $\sigma(S_{200}) = \sqrt{1\,872} \approx 43{,}27$ euros. 2. (1 pt) $E(M_{200}) = 1{,}2$ euro ; $\sigma(M_{200}) = \dfrac{\sqrt{9{,}36}}{\sqrt{200}} \approx 0{,}22$ euro. 3. (0,5 pt) $1{,}2\,n = 300$ donne $n = 250$ tickets. 4. (0,5 pt) Il faut $4$ fois plus de tickets, soit $800$ tickets.

Partie C. 1. (1 pt) $P(\text{gagnant}) = 0{,}08 + 0{,}02 = 0{,}1$ . On répète $200$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli : $N$ suit la loi $\mathcal{B}(200\,;0{,}1)$ . $E(N) = 20$ ; $V(N) = 18$ ; $\sigma(N) \approx 4{,}24$ . 2. (1 pt) La recette est $200 \times 2 = 400$ euros, et les élèves paient $5$ euros par ticket à $5$ euros et $20$ euros par ticket à $20$ euros. (0,5 pt) $N_5$ suit la loi $\mathcal{B}(200\,;0{,}08)$ et $N_{20}$ la loi $\mathcal{B}(200\,;0{,}02)$ , donc $E(N_5) = 16$ et $E(N_{20}) = 4$ . Par linéarité, $E(S_{200}) = 400 - 5 \times 16 - 20 \times 4 = 240$ euros. (0,5 pt) 3. (0,5 pt) Non : $N_5$ et $N_{20}$ dépendent des mêmes tickets, elles ne sont pas indépendantes (un ticket à $5$ euros n'est pas un ticket à $20$ euros). L'additivité ne s'applique pas.