Seuil, comparaison, optimisation

6.1 Un seuil pour « au moins un succès »

Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$, le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès » : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n.$ Pour trouver le plus petit $n$ tel que $P(X \geqslant 1) \geqslant s$, on résout $(1 - p)^n \leqslant 1 - s$ avec le logarithme (chapitre 8). Comme $0 < 1 - p < 1$, $\ln(1 - p) < 0$ : on change le sens de l'inégalité en divisant par ce nombre.

Exemple 11. Une archère touche le centre de la cible avec la probabilité $0{,}15$ à chaque flèche, indépendamment des autres. Pour $n$ flèches, le nombre $X$ de centres suit la loi $\mathcal{B}(n\,;0{,}15)$ et $P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}85^n$. $1 - 0{,}85^n \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}85^n \leqslant 0{,}01 \iff n\ln(0{,}85) \leqslant \ln(0{,}01) \iff n \geqslant \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)} \approx 28{,}3.$ Il faut au moins $29$ flèches. Vérification : $1 - 0{,}85^{28} \approx 0{,}989$ et $1 - 0{,}85^{29} \approx 0{,}991$.

6.2 Un seuil par un algorithme

Quand l'inéquation ne se résout pas par le calcul, on augmente $n$ jusqu'à ce que la condition soit remplie, à la calculatrice (tableau de valeurs) ou avec une boucle « tant que ».

Exemple 12. Avec l'archère de l'exemple 11, combien de flèches faut-il pour toucher au moins deux fois le centre avec une probabilité d'au moins $0{,}9$ ? $P(X \geqslant 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}85^n - n \times 0{,}15 \times 0{,}85^{n-1}$. Le tableau de valeurs donne $P(X \geqslant 2) \approx 0{,}894$ pour $n = 24$ et $\approx 0{,}907$ pour $n = 25$ : il faut au moins $25$ flèches.

def fleches():
    n = 2
    while 1 - cumul(n, 0.15, 1) < 0.9:
        n = n + 1
    return n

fleches() renvoie 25.

6.3 Une comparaison

Exemple 13. Jeu A : on lance quatre fois un dé, et on gagne si l'on obtient au moins un $6$. Jeu B : on lance vingt-quatre fois deux dés, et on gagne si l'on obtient au moins un double $6$.

• Jeu A : le nombre de $6$ suit la loi $\mathcal{B}\left(4\,;\frac16\right)$, et l'on gagne avec la probabilité $1 - \left(\frac56\right)^4 \approx 0{,}518$.
• Jeu B : un double $6$ a pour probabilité $\frac16 \times \frac16 = \frac{1}{36}$ ; le nombre de doubles $6$ suit la loi $\mathcal{B}\left(24\,;\frac{1}{36}\right)$, et l'on gagne avec la probabilité $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}491$.

Le jeu A est plus favorable.

6.4 Une optimisation

Exemple 14. On lance $n$ dés et l'on gagne si l'on obtient exactement un $6$. Le nombre de $6$ suit la loi $\mathcal{B}\left(n\,;\frac16\right)$, donc la probabilité de gagner est $u_n = n \times \frac16 \times \left(\frac56\right)^{n-1}$.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$u_n$	$0{,}167$	$0{,}278$	$0{,}347$	$0{,}386$	$0{,}402$	$0{,}402$	$0{,}391$	$0{,}372$

Justification. $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+1}{n} \times \dfrac56$, et $\dfrac{5(n+1)}{6n} \geqslant 1 \iff 5n + 5 \geqslant 6n \iff n \leqslant 5$, avec égalité pour $n = 5$. La suite $(u_n)$ croît jusqu'à $u_5$, $u_6 = u_5$, puis elle décroît. Le maximum, $\left(\frac56\right)^5 \approx 0{,}402$, est atteint pour $5$ ou $6$ dés.

On peut aussi optimiser en fonction de $p$, en étudiant une fonction de $p$ avec sa dérivée (exercice 12).