Devoir sur 20 : Loi binomiale · MathsPourLesLycéens

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin. Les probabilités sont arrondies au millième.

Sujet

Exercice 1 (6 points)

Répondre en justifiant brièvement. (1 point par question)

$P(A) = 0{,}3$ , $P_A(B) = 0{,}6$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}1$ . Calculer $P(B)$ .
Avec les données de la question 1, calculer $P_B(A)$ .
$X$ suit la loi $\mathcal{B}(7\,;0{,}4)$ . Écrire $P(X = 3)$ avec la formule du cours, puis donner sa valeur arrondie.
Avec la même variable $X$ , calculer $P(X \geqslant 1)$ .
$Z$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}35$ . Donner $E(Z)$ et $V(Z)$ .
$Y$ suit la loi $\mathcal{B}(30\,;0{,}2)$ . Calculer $P(5 \leqslant Y \leqslant 8)$ en l'écrivant avec deux probabilités cumulées.

Exercice 2 (5 points)

Cet exercice reprend la démonstration du programme.

On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , et l'on note $X$ le nombre de succès.

Démontrer que, pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$ , $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$ . (3 points)
On prend $n = 5$ et $p = 0{,}6$ . Calculer la valeur exacte de $P(X = 3)$ , puis celle de $P(X = 5)$ . (2 points)

Exercice 3 (9 points)

Une compagnie propose une sortie en mer pour observer des dauphins.

Partie A (2,5 points). Un jour donné, il fait beau avec la probabilité $0{,}7$ . S'il fait beau, on observe des dauphins avec la probabilité $0{,}8$ ; sinon, avec la probabilité $0{,}3$ . On note $B$ : « il fait beau » et $D$ : « on observe des dauphins ».

Construire un arbre pondéré de la situation. (0,5 point)
Montrer que $P(D) = 0{,}65$ . (1 point)
Lors d'une sortie, on a observé des dauphins. Quelle est la probabilité qu'il ait fait beau ? (1 point)

Partie B (3 points). On considère $10$ sorties, et l'on admet que les observations d'une sortie à l'autre sont indépendantes, chaque sortie permettant d'observer des dauphins avec la probabilité $0{,}65$ . On note $X$ le nombre de sorties où l'on observe des dauphins.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (0,5 point)
Calculer $P(X = 7)$ , puis la probabilité d'observer des dauphins lors d'au moins $8$ sorties. (1 point)
Un touriste réserve $n$ sorties (indépendantes, comme ci-dessus). Déterminer le plus petit $n$ tel que la probabilité qu'il observe des dauphins au moins une fois soit supérieure ou égale à $0{,}999$ . (1,5 point)

Partie C (3,5 points). Le bateau a $40$ places. Chaque personne qui a réservé se présente avec la probabilité $0{,}9$ , indépendamment des autres. La compagnie accepte $43$ réservations ; $Y$ est le nombre de personnes présentes au départ.

Quelle est la loi de $Y$ ? Calculer la probabilité que des personnes présentes n'aient pas de place. (1,5 point)
Compléter la fonction suivante pour qu'elle renvoie le plus petit entier $k$ tel que $P(Y > k) \leqslant \alpha$ , où cumul(n, p, k) calcule $P(Y \leqslant k)$ pour $Y$ de loi $\mathcal{B}(n, p)$ . (1 point)

def seuil(n, p, alpha):
    k = 0
    while ...:
        k = k + 1
    return k

Que renvoie seuil(43, 0.9, 0.05) ? Interpréter. (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) $A$ et $\overline{A}$ forment une partition : $P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 + 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}18 + 0{,}07 = 0{,}25$ .

2. (1 pt) $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}25} = 0{,}72$ .

3. (1 pt) $P(X = 3) = \dbinom73 \times 0{,}4^3 \times 0{,}6^4 = 35 \times 0{,}064 \times 0{,}1296 \approx 0{,}290$ .

4. (1 pt) $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}6^7 \approx 0{,}972$ .

5. (1 pt) $E(Z) = 0{,}35$ et $V(Z) = 0{,}35 \times 0{,}65 = 0{,}2275$ .

6. (1 pt) $P(5 \leqslant Y \leqslant 8) = P(Y \leqslant 8) - P(Y \leqslant 4) \approx 0{,}871 - 0{,}255 = 0{,}616$ .

Exercice 2

1. (3 pts)

(1 pt) Une issue à $k$ succès et $n - k$ échecs est une liste de $n$ résultats d'épreuves indépendantes : sa probabilité est le produit de $k$ facteurs $p$ et de $n - k$ facteurs $1 - p$ , soit $p^k(1 - p)^{n-k}$ .
(1 pt) Une telle issue est déterminée par le choix des rangs des $k$ succès parmi les $n$ rangs : il y a $\dbinom{n}{k}$ issues à $k$ succès.
(1 pt) Ces issues sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'événement $\{X = k\}$ : en additionnant $\dbinom{n}{k}$ probabilités égales à $p^k(1 - p)^{n-k}$ , on obtient $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$ .

2. (2 pts) (1 pt) $P(X = 3) = \dbinom53 \times 0{,}6^3 \times 0{,}4^2 = 10 \times 0{,}216 \times 0{,}16 = 0{,}3456$ . (1 pt) $P(X = 5) = 0{,}6^5 = 0{,}07776$ .

Exercice 3

Partie A. 1. (0,5 pt) Premier niveau : $B$ ( $0{,}7$ ), $\overline{B}$ ( $0{,}3$ ) ; second niveau : $P_B(D) = 0{,}8$ , $P_B(\overline{D}) = 0{,}2$ , $P_{\overline{B}}(D) = 0{,}3$ , $P_{\overline{B}}(\overline{D}) = 0{,}7$ . 2. (1 pt) Probabilités totales : $P(D) = 0{,}7 \times 0{,}8 + 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}56 + 0{,}09 = 0{,}65$ . 3. (1 pt) $P_D(B) = \dfrac{0{,}56}{0{,}65} = \dfrac{56}{65} \approx 0{,}862$ .

Partie B. 1. (0,5 pt) On répète $10$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli (succès : « on observe des dauphins », $p = 0{,}65$ ), et $X$ compte les succès : $X$ suit la loi $\mathcal{B}(10\,;0{,}65)$ . 2. (1 pt) $P(X = 7) = \dbinom{10}{7} \times 0{,}65^7 \times 0{,}35^3 \approx 0{,}252$ ; $P(X \geqslant 8) = 1 - P(X \leqslant 7) \approx 0{,}262$ . 3. (1,5 pt) Le nombre de sorties avec dauphins suit la loi $\mathcal{B}(n\,;0{,}65)$ ; la probabilité d'en voir au moins une fois est $1 - 0{,}35^n$ . (0,5 pt) $1 - 0{,}35^n \geqslant 0{,}999 \iff 0{,}35^n \leqslant 0{,}001 \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}35)} \approx 6{,}58$ , car $\ln(0{,}35) < 0$ . (1 pt) Il faut au moins $7$ sorties ; vérification : $1 - 0{,}35^6 \approx 0{,}998$ et $1 - 0{,}35^7 \approx 0{,}9994$ .

Partie C. 1. (1,5 pt) $Y$ suit la loi $\mathcal{B}(43\,;0{,}9)$ ( $43$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes). (0,5 pt) Des personnes restent sans place si $Y > 40$ : $P(Y > 40) = 1 - P(Y \leqslant 40) \approx 0{,}182$ . (1 pt) 2. (1 pt) while 1 - cumul(n, p, k) > alpha: : on continue tant que $P(Y > k) > \alpha$ . 3. (1 pt) $P(Y > 41) \approx 0{,}062 > 0{,}05$ et $P(Y > 42) \approx 0{,}011 \leqslant 0{,}05$ : la fonction renvoie 42. Pour accepter $43$ réservations avec un risque de surréservation d'au plus $0{,}05$ , il faudrait $42$ places ; avec $40$ places, la compagnie ne devrait accepter que $41$ réservations (risque $0{,}9^{41} \approx 0{,}013$ ).