Loi binomiale

Leçon 1 : Rappels sur les probabilités conditionnelles

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Probabilité de B sachant A

Définition. Soit $A$ un événement tel que $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est le nombre $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.$ C'est la probabilité que $B$ soit réalisé quand on sait que $A$ l'est.

Règle du produit. Si $P(A) \neq 0$, alors $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

Exemple 1 (tableau croisé). Un soir, un cinéma de quartier accueille $400$ spectateurs. Certains paient le tarif réduit ($R$), d'autres le plein tarif ; certains voient un film en version originale ($O$), les autres en version française.

	$O$	$\overline{O}$	Total
$R$	$60$	$140$	$200$
$\overline{R}$	$90$	$110$	$200$
Total	$150$	$250$	$400$

On choisit un spectateur au hasard. Alors $P(R \cap O) = \dfrac{60}{400} = 0{,}15$, $P_R(O) = \dfrac{60}{200} = 0{,}3$ et $P_O(R) = \dfrac{60}{150} = 0{,}4$. Les deux probabilités conditionnelles sont différentes : $P_R(O)$ se lit dans la ligne $R$, $P_O(R)$ dans la colonne $O$.

1.2 L'arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes.

1. Les branches du premier niveau portent les probabilités des événements de départ ; celles du second niveau portent des probabilités conditionnelles.
2. Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut $1$.
3. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches (règle du produit).

Exemple 2 (un filtre de messagerie). Dans une messagerie, $10\,\%$ des courriels reçus sont indésirables. Le filtre classe en indésirables $90\,\%$ de ces courriels, mais aussi $5\,\%$ des courriels normaux. On choisit un courriel au hasard ; $S$ : « le courriel est indésirable », $F$ : « le filtre le classe en indésirables ». Ainsi $P(S) = 0{,}1$, $P_S(F) = 0{,}9$ et $P_{\overline{S}}(F) = 0{,}05$.

L'arbre a quatre chemins : $P(S \cap F) = 0{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}09$ ; $P(S \cap \overline{F}) = 0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01$ ; $P(\overline{S} \cap F) = 0{,}9 \times 0{,}05 = 0{,}045$ ; $P(\overline{S} \cap \overline{F}) = 0{,}9 \times 0{,}95 = 0{,}855$. La somme vaut bien $1$.

1.3 Partition de l'univers et probabilités totales

Définition. Des événements $A_1, A_2, \ldots, A_m$ forment une partition de l'univers $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles, de probabilités non nulles, et si leur réunion est $\Omega$. Par exemple, $A$ et $\overline{A}$ forment une partition, si $0 < P(A) < 1$.

Formule des probabilités totales. Si $A_1, \ldots, A_m$ forment une partition de $\Omega$, alors pour tout événement $B$ : $P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \cdots + P(A_m \cap B).$ Sur l'arbre, on additionne les probabilités des chemins qui mènent à $B$.

Exemple 2 (suite). $S$ et $\overline{S}$ forment une partition, donc $P(F) = P(S \cap F) + P(\overline{S} \cap F) = 0{,}09 + 0{,}045 = 0{,}135$.

1.4 Inverser le conditionnement

Exemple 2 (suite). Un courriel est classé en indésirables. La probabilité qu'il le soit vraiment est $P_F(S) = \frac{P(S \cap F)}{P(F)} = \frac{0{,}09}{0{,}135} = \frac23 \approx 0{,}67.$ Environ un courriel classé sur trois est en fait normal : ce sont des faux positifs. Il ne faut pas confondre $P_F(S) \approx 0{,}67$ avec $P_S(F) = 0{,}9$.

1.5 Événements indépendants

Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Propriété. Si $P(A) \neq 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$.

Remarque. Si $A$ et $B$ sont indépendants, $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi : $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\big(1 - P(B)\big) = P(A)\,P(\overline{B})$.

Exemple 2 (suite). $P_S(F) = 0{,}9$ alors que $P(F) = 0{,}135$ : les événements $S$ et $F$ ne sont pas indépendants, et c'est heureux pour le filtre. Dans l'exemple 1, $P(R) \times P(O) = 0{,}5 \times 0{,}375 = 0{,}1875 \neq 0{,}15 = P(R \cap O)$ : $R$ et $O$ ne sont pas indépendants non plus.

Leçon 2 : Succession d'épreuves indépendantes

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Issues et produit cartésien

Quand une expérience enchaîne plusieurs épreuves, une issue est la liste des résultats obtenus, dans l'ordre.

Exemple 3. On lance un dé équilibré à six faces, puis une pièce équilibrée. Une issue est un couple, par exemple $(6\,;P)$. L'ensemble des issues est le produit cartésien $\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\} \times \{P\,;F\}$, qui a $6 \times 2 = 12$ éléments (principe multiplicatif, chapitre 6). Les deux lancers n'ont aucune influence l'un sur l'autre, donc $P\big((6\,;P)\big) = \dfrac16 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{12}$.

2.2 Le modèle de la succession d'épreuves indépendantes

Modèle (programme). On enchaîne $n$ épreuves ; l'épreuve numéro $i$ a pour ensemble d'issues $\Omega_i$.

• Une issue est une liste $(x_1\,;x_2\,;\ldots\,;x_n)$, où $x_i \in \Omega_i$ est le résultat de l'épreuve $i$.
• L'univers est le produit cartésien $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n$.
• Si les épreuves sont indépendantes, la probabilité d'une issue est égale au produit des probabilités de ses composantes : $P\big((x_1\,;x_2\,;\ldots\,;x_n)\big) = P(x_1) \times P(x_2) \times \cdots \times P(x_n).$

L'indépendance est une hypothèse du modèle. On la justifie par la situation : lancers successifs, tirages avec remise, appareils qui fonctionnent séparément, etc. On ne cherche pas à la démontrer.

Représentation par un arbre. Chaque niveau correspond à une épreuve. Quand les épreuves sont indépendantes, toutes les branches d'un même niveau portent les mêmes probabilités, celles de l'épreuve correspondante.

2.3 Un exemple : trois feux de circulation

Exemple 4. Sur le trajet du lycée, Inès passe trois feux réglés indépendamment les uns des autres. Elle trouve le premier vert avec la probabilité $0{,}6$, le deuxième avec $0{,}5$, le troisième avec $0{,}7$. On note $V$ (vert) et $R$ (rouge) les résultats. L'arbre a $2 \times 2 \times 2 = 8$ chemins.

Issue	$VVV$	$VVR$	$VRV$	$VRR$	$RVV$	$RVR$	$RRV$	$RRR$
Probabilité	$0{,}21$	$0{,}09$	$0{,}21$	$0{,}09$	$0{,}14$	$0{,}06$	$0{,}14$	$0{,}06$

• Trois feux verts : $P(VVV) = 0{,}6 \times 0{,}5 \times 0{,}7 = 0{,}21$.
• Exactement un feu rouge : les issues $RVV$, $VRV$ et $VVR$ conviennent ; elles sont incompatibles, donc la probabilité est $0{,}14 + 0{,}21 + 0{,}09 = 0{,}44$.
• Au moins un feu rouge : c'est le contraire de $VVV$, de probabilité $1 - 0{,}21 = 0{,}79$.

Les trois feux n'ont pas la même probabilité d'être verts : ce n'est pas encore un schéma de Bernoulli (leçon 3).

2.4 Deux ou trois épreuves quelconques

Les épreuves ne sont pas toujours indépendantes. Sur l'arbre, les branches à partir du second niveau portent alors des probabilités conditionnelles, et l'on multiplie toujours le long d'un chemin (règle du produit de la leçon 1).

Exemple 5 (tirages sans remise). Un sachet contient cinq bonbons : deux à la menthe ($M$) et trois au citron ($C$). On en prend un, puis un second, sans remettre le premier.

• Après un bonbon à la menthe, il reste $1$ bonbon à la menthe sur $4$ : $P_{M_1}(M_2) = \dfrac14$. Après un bonbon au citron, il en reste $2$ sur $4$ : $P_{C_1}(M_2) = \dfrac24 = \dfrac12$.
• $P(M_1 \cap M_2) = \dfrac25 \times \dfrac14 = \dfrac{1}{10}$, et les trois autres chemins ont chacun la probabilité $\dfrac{3}{10}$.
• Par la formule des probabilités totales, $P(M_2) = \dfrac{1}{10} + \dfrac35 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac25$.

Comme $P_{M_1}(M_2) = \dfrac14 \neq \dfrac25 = P(M_2)$, les deux tirages ne sont pas indépendants.

Leçon 3 : Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Épreuve de Bernoulli

Définition. Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire qui n'a que deux issues : l'une est appelée succès, notée $S$, l'autre échec, notée $\overline{S}$. On note $p = P(S)$ ; alors $P(\overline{S}) = 1 - p$. Le nombre $p$ est le paramètre de l'épreuve.

Exemples. Lancer une pièce équilibrée, succès « pile » : $p = \frac12$. Lancer un dé équilibré, succès « obtenir $6$ » : $p = \frac16$ (l'échec regroupe les cinq autres faces). Maëlle, joueuse de basket, tire un lancer franc, succès « le panier est marqué » : $p = 0{,}8$.

3.2 Loi de Bernoulli

Définition. On associe à une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ la variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec. Sa loi est

On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

Espérance et variance (formules de Première).

• $E(X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ ;
• $V(X) = (0 - p)^2(1 - p) + (1 - p)^2\,p = p(1 - p)\big(p + (1 - p)\big) = p(1 - p)$, donc $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$.

Exemple 6. Pour un lancer franc de Maëlle, $p = 0{,}8$ : $E(X) = 0{,}8$ et $V(X) = 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16$, donc $\sigma(X) = 0{,}4$.

3.3 Schéma de Bernoulli

Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques (même paramètre $p$) et indépendantes.

• Une issue est une liste de $n$ résultats, que l'on code par des $1$ (succès) et des $0$ (échec) : l'univers est $\{0\,;1\}^n$, qui a $2^n$ éléments (chapitre 6).
• D'après le modèle de la leçon 2, une issue qui comporte $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n-k}$.
• Les issues ne sont donc pas équiprobables, sauf si $p = \frac12$ : chacune a alors la probabilité $\frac{1}{2^n}$.

Exemple 7. Maëlle tire trois lancers francs, de façon indépendante : c'est un schéma de Bernoulli de paramètres $3$ et $0{,}8$. L'arbre a $8$ chemins. $P(SSS) = 0{,}8^3 = 0{,}512$ ; $P(S\overline{S}S) = 0{,}8 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}128$ ; $P(\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S}) = 0{,}2^3 = 0{,}008$. Trois issues ont la probabilité $0{,}128$ (deux succès) et trois ont la probabilité $0{,}032$ (un succès).

3.4 Un peu d'histoire

La parution de l'Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli, en 1713, qui reprend notamment d'anciens travaux de Huygens, marque une rupture dans l'histoire des probabilités. On y trouve la première étude de la loi du nombre de succès, appelée aujourd'hui loi binomiale, et un résultat majeur, la loi des grands nombres, que l'on retrouvera au chapitre 16.

Leçon 4 : La loi binomiale

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Définition

Définition. On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, et on note $X$ le nombre de succès obtenus. $X$ prend les valeurs $0, 1, \ldots, n$. Sa loi s'appelle la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n, p)$. On dit que $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$.

Avec des nombres décimaux, on sépare les paramètres par un point-virgule : $\mathcal{B}(20\,;0{,}85)$.

4.2 La probabilité de k succès

Théorème (programme). Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$, alors pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$ : $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n-k}.$

Démonstration (programme).

1. Une issue qui comporte $k$ succès et $n - k$ échecs est une liste de $n$ résultats d'épreuves indépendantes. Sa probabilité est le produit de $k$ facteurs égaux à $p$ et de $n - k$ facteurs égaux à $1 - p$, soit $p^k(1 - p)^{n-k}$.
2. Une telle issue est connue dès que l'on choisit les rangs des $k$ succès parmi les $n$ rangs : c'est une partie à $k$ éléments de $\{1\,;2\,;\ldots\,;n\}$. Il y a donc $\binom{n}{k}$ issues à $k$ succès (chapitre 6 : mots de longueur $n$ à $k$ lettres $1$, chemins de l'arbre qui passent $k$ fois par $S$).
3. L'événement $\{X = k\}$ est la réunion de ces $\binom{n}{k}$ issues, deux à deux incompatibles. On additionne leurs probabilités, toutes égales à $p^k(1 - p)^{n-k}$ : $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n-k}$.

C'est pour cette raison que les nombres $\binom{n}{k}$ s'appellent les coefficients binomiaux.

4.3 Exemples

Exemple 8. Le nombre $X$ de lancers francs réussis par Maëlle sur trois suit la loi $\mathcal{B}(3\,;0{,}8)$. Trois issues comportent deux succès ($SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$, $\overline{S}SS$), chacune de probabilité $0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}128$ : $P(X = 2) = \binom32 \times 0{,}8^2 \times 0{,}2 = 3 \times 0{,}128 = 0{,}384$. La loi complète est

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = k)$	$0{,}008$	$0{,}096$	$0{,}384$	$0{,}512$

La somme vaut $1$ et la valeur la plus probable est $3$.

Exemple 9. On lance cinq fois un dé équilibré et l'on compte les $6$ obtenus. Le nombre $X$ de $6$ suit la loi $\mathcal{B}\left(5\,;\frac16\right)$ : $P(X = 2) = \binom52 \left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{625}{3\,888} \approx 0{,}161$.

4.4 Remarques

• La somme des probabilités vaut 1. Les événements $\{X = 0\}, \{X = 1\}, \ldots, \{X = n\}$ forment une partition de l'univers, donc $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k} = 1$.
• Le nombre d'échecs. Dans le même schéma, le nombre d'échecs $n - X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, 1 - p)$ : il suffit d'appeler « succès » l'échec. Pour $p = \frac12$, la loi est symétrique : $P(X = k) = P(X = n - k)$, car $\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$.
• Diagramme en bâtons. On représente la loi de $X$ par un bâton de hauteur $P(X = k)$ au-dessus de chaque valeur $k$. Les bâtons les plus hauts se trouvent autour des valeurs les plus probables.
• Espérance et variance. Elles seront établies au chapitre 15 (sommes de variables aléatoires).

4.5 Reconnaître une loi binomiale

Pour justifier qu'une variable $X$ suit une loi binomiale, on vérifie trois points :

1. on répète $n$ fois la même épreuve à deux issues, de probabilité de succès $p$ ;
2. les répétitions sont indépendantes ;
3. $X$ compte le nombre de succès.

On conclut : « $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ ».

Contre-exemple. Dans l'exemple 5, le nombre de bonbons à la menthe obtenus en deux tirages sans remise a pour loi $\frac{3}{10}$, $\frac{6}{10}$, $\frac{1}{10}$ (pour $0$, $1$, $2$ bonbons). Ce n'est pas la loi $\mathcal{B}\left(2\,;\frac25\right)$, qui donne $\frac{9}{25}$, $\frac{12}{25}$, $\frac{4}{25}$ : les tirages ne sont pas indépendants.

Remarque. Quand on prélève quelques individus dans une très grande population, les énoncés disent souvent que le prélèvement « est assimilé à un tirage avec remise » : c'est cette phrase qui autorise le modèle binomial.

Leçon 5 : Calculer avec la loi binomiale

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Les trois types de probabilités

Soit $X$ de loi $\mathcal{B}(n, p)$.

• Une valeur : $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$.
• Probabilité cumulée : $P(X \leqslant k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \cdots + P(X = k)$, car les événements $\{X = i\}$ sont incompatibles.
• Entre deux valeurs : pour des entiers $a \leqslant b$, $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a - 1)$. Attention : on retire $P(X \leqslant a - 1)$ et non $P(X \leqslant a)$, pour garder la valeur $a$.

Autres écritures utiles, pour un entier $a$ : $P(X \geqslant a) = 1 - P(X \leqslant a - 1)$ ; $P(X < a) = P(X \leqslant a - 1)$ ; $P(X > a) = 1 - P(X \leqslant a)$.

5.2 À la calculatrice

Les calculatrices du lycée ont un menu des lois de probabilité. On choisit la loi binomiale, puis :

• « probabilité d'une valeur » : on entre $n$, $p$ et $k$, et l'on obtient $P(X = k)$ ;
• « probabilité cumulée » : on entre $n$, $p$ et $k$, et l'on obtient $P(X \leqslant k)$.

Le nom exact des menus dépend du modèle de calculatrice : il est indiqué dans sa notice.

5.3 Un exemple complet

Exemple 10. Un jardinier sème $20$ graines de tomate. Chacune germe avec la probabilité $0{,}85$, indépendamment des autres. On répète $20$ fois la même épreuve de Bernoulli (succès : la graine germe), de façon indépendante, et $X$ compte les succès : $X$ suit la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}85)$.

• $P(X = 17) = \binom{20}{17} \times 0{,}85^{17} \times 0{,}15^3 \approx 0{,}243$, avec $\binom{20}{17} = 1\,140$.
• $P(X \leqslant 15) \approx 0{,}170$ (somme de $16$ probabilités, ou probabilité cumulée).
• $P(15 \leqslant X \leqslant 18) = P(X \leqslant 18) - P(X \leqslant 14) \approx 0{,}824 - 0{,}067 \approx 0{,}757$.
• $P(X \geqslant 18) = 1 - P(X \leqslant 17) \approx 0{,}405$.

La valeur la plus probable est $17$.

5.4 En Python

from math import comb

def proba(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def cumul(n, p, k):
    return sum([proba(n, p, i) for i in range(k + 1)])

• comb(n, k) calcule $\binom{n}{k}$ ; p**k est $p^k$.
• range(k + 1) donne les entiers $i$ de $0$ à $k$ ; la liste en compréhension contient les $P(X = i)$, et sum les additionne.

Par exemple, proba(20, 0.85, 17) renvoie 0.24282889614926761 et cumul(20, 0.85, 15) renvoie 0.1701531537313463. Pour un encadrement : cumul(20, 0.85, 18) - cumul(20, 0.85, 14).

En langage naturel, la fonction cumul s'écrit avec une boucle : $s \leftarrow 0$, puis pour $i$ allant de $0$ à $k$, $s \leftarrow s + P(X = i)$.

Leçon 6 : Seuil, comparaison, optimisation

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Un seuil pour « au moins un succès »

Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$, le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès » : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n.$ Pour trouver le plus petit $n$ tel que $P(X \geqslant 1) \geqslant s$, on résout $(1 - p)^n \leqslant 1 - s$ avec le logarithme (chapitre 8). Comme $0 < 1 - p < 1$, $\ln(1 - p) < 0$ : on change le sens de l'inégalité en divisant par ce nombre.

Exemple 11. Une archère touche le centre de la cible avec la probabilité $0{,}15$ à chaque flèche, indépendamment des autres. Pour $n$ flèches, le nombre $X$ de centres suit la loi $\mathcal{B}(n\,;0{,}15)$ et $P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}85^n$. $1 - 0{,}85^n \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}85^n \leqslant 0{,}01 \iff n\ln(0{,}85) \leqslant \ln(0{,}01) \iff n \geqslant \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)} \approx 28{,}3.$ Il faut au moins $29$ flèches. Vérification : $1 - 0{,}85^{28} \approx 0{,}989$ et $1 - 0{,}85^{29} \approx 0{,}991$.

6.2 Un seuil par un algorithme

Quand l'inéquation ne se résout pas par le calcul, on augmente $n$ jusqu'à ce que la condition soit remplie, à la calculatrice (tableau de valeurs) ou avec une boucle « tant que ».

Exemple 12. Avec l'archère de l'exemple 11, combien de flèches faut-il pour toucher au moins deux fois le centre avec une probabilité d'au moins $0{,}9$ ? $P(X \geqslant 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}85^n - n \times 0{,}15 \times 0{,}85^{n-1}$. Le tableau de valeurs donne $P(X \geqslant 2) \approx 0{,}894$ pour $n = 24$ et $\approx 0{,}907$ pour $n = 25$ : il faut au moins $25$ flèches.

def fleches():
    n = 2
    while 1 - cumul(n, 0.15, 1) < 0.9:
        n = n + 1
    return n

fleches() renvoie 25.

6.3 Une comparaison

Exemple 13. Jeu A : on lance quatre fois un dé, et on gagne si l'on obtient au moins un $6$. Jeu B : on lance vingt-quatre fois deux dés, et on gagne si l'on obtient au moins un double $6$.

• Jeu A : le nombre de $6$ suit la loi $\mathcal{B}\left(4\,;\frac16\right)$, et l'on gagne avec la probabilité $1 - \left(\frac56\right)^4 \approx 0{,}518$.
• Jeu B : un double $6$ a pour probabilité $\frac16 \times \frac16 = \frac{1}{36}$ ; le nombre de doubles $6$ suit la loi $\mathcal{B}\left(24\,;\frac{1}{36}\right)$, et l'on gagne avec la probabilité $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}491$.

Le jeu A est plus favorable.

6.4 Une optimisation

Exemple 14. On lance $n$ dés et l'on gagne si l'on obtient exactement un $6$. Le nombre de $6$ suit la loi $\mathcal{B}\left(n\,;\frac16\right)$, donc la probabilité de gagner est $u_n = n \times \frac16 \times \left(\frac56\right)^{n-1}$.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$u_n$	$0{,}167$	$0{,}278$	$0{,}347$	$0{,}386$	$0{,}402$	$0{,}402$	$0{,}391$	$0{,}372$

Justification. $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+1}{n} \times \dfrac56$, et $\dfrac{5(n+1)}{6n} \geqslant 1 \iff 5n + 5 \geqslant 6n \iff n \leqslant 5$, avec égalité pour $n = 5$. La suite $(u_n)$ croît jusqu'à $u_5$, $u_6 = u_5$, puis elle décroît. Le maximum, $\left(\frac56\right)^5 \approx 0{,}402$, est atteint pour $5$ ou $6$ dés.

On peut aussi optimiser en fonction de $p$, en étudiant une fonction de $p$ avec sa dérivée (exercice 12).

Leçon 7 : Intervalles et surréservation

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Un intervalle de grande probabilité

Problème (programme). $X$ suit une loi binomiale et $\alpha$ est un réel de $]0\,;1[$ (le « risque »). On cherche un intervalle $I$ tel que $P(X \in I) \geqslant 1 - \alpha$, c'est-à-dire tel que la probabilité que $X$ soit en dehors de $I$ soit au plus $\alpha$.

Une méthode courante : partager le risque en deux moitiés.

• $a$ est le plus petit entier tel que $P(X \leqslant a) > \frac{\alpha}{2}$ ;
• $b$ est le plus petit entier tel que $P(X \leqslant b) \geqslant 1 - \frac{\alpha}{2}$.

Alors $P(X < a) = P(X \leqslant a - 1) \leqslant \frac{\alpha}{2}$ et $P(X > b) = 1 - P(X \leqslant b) \leqslant \frac{\alpha}{2}$, donc $P(a \leqslant X \leqslant b) \geqslant 1 - \alpha$ : l'intervalle $I = [a\,;b]$ convient.

Exemple 15. On lance $100$ fois une pièce équilibrée ; le nombre $X$ de piles suit la loi $\mathcal{B}(100\,;0{,}5)$. Avec $\alpha = 0{,}05$ :

$k$	$39$	$40$	$59$	$60$
$P(X \leqslant k)$	$0{,}018$	$0{,}028$	$0{,}972$	$0{,}982$

Donc $a = 40$ et $b = 60$, et $P(40 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0{,}965 \geqslant 0{,}95$. Obtenir moins de $40$ piles, ou plus de $60$, est rare avec une pièce équilibrée.

Une probabilité inférieure à α. On peut aussi chercher un intervalle de petite probabilité. Avec la même pièce, $P(X \leqslant 41) \approx 0{,}044 \leqslant 0{,}05$ et $P(X \leqslant 42) \approx 0{,}067$ : $I = [0\,;41]$ est le plus grand intervalle de la forme $[0\,;k]$ tel que $P(X \in I) \leqslant 0{,}05$.

def intervalle(n, p, alpha):
    a = 0
    while cumul(n, p, a) <= alpha / 2:
        a = a + 1
    b = a
    while cumul(n, p, b) < 1 - alpha / 2:
        b = b + 1
    return a, b

intervalle(100, 0.5, 0.05) renvoie (40, 60).

7.2 Le problème de la surréservation

Problème (programme). Étant donné une variable $X$ de loi binomiale et un réel $\alpha > 0$, déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P(X > k) \leqslant \alpha$.

Exemple 16. Une compagnie aérienne sait que $10\,\%$ des passagers ne se présentent pas à l'embarquement. Pour un vol, elle vend $100$ billets. Chaque passager se présente avec la probabilité $0{,}9$, indépendamment des autres : le nombre $X$ de passagers présents suit la loi $\mathcal{B}(100\,;0{,}9)$. Avec $k$ places, le risque de manquer de places est $P(X > k) = 1 - P(X \leqslant k)$.

$k$	$92$	$93$	$94$	$95$	$96$
$P(X > k)$	$0{,}206$	$0{,}117$	$0{,}058$	$0{,}024$	$0{,}008$

Pour $\alpha = 0{,}05$, le plus petit $k$ est $95$ : avec $95$ places, la compagnie peut vendre $100$ billets avec un risque de surréservation inférieur à $0{,}05$. Pour $\alpha = 0{,}01$, il faut $96$ places.

def seuil(n, p, alpha):
    k = 0
    while 1 - cumul(n, p, k) > alpha:
        k = k + 1
    return k

seuil(100, 0.9, 0.05) renvoie 95 et seuil(100, 0.9, 0.01) renvoie 96. La boucle s'arrête au premier $k$ tel que $P(X > k) \leqslant \alpha$.

Leçon 8 : Simuler avec Python

Voir la vidéo de la leçon 8

8.1 Une épreuve de Bernoulli

from random import random

def bernoulli(p):
    if random() < p:
        return 1
    return 0

random() renvoie un réel au hasard dans $[0\,;1[$ ; il est strictement inférieur à $p$ avec la probabilité $p$ (c'est la longueur de l'intervalle $[0\,;p[$). La fonction bernoulli renvoie donc $1$ avec la probabilité $p$, et $0$ sinon.

8.2 Une variable de loi binomiale

def binomiale(n, p):
    return sum([bernoulli(p) for i in range(n)])

La liste contient $n$ résultats indépendants, égaux à $0$ ou $1$ ; leur somme compte les $1$, c'est-à-dire les succès. Chaque appel donne un nouveau résultat au hasard ; une exécution de binomiale(8, 0.5) deux fois de suite a donné 4, puis 5.

8.3 La planche de Galton

Une bille tombe à travers $n$ rangées de clous. À chaque clou, elle part à droite ou à gauche avec la probabilité $\frac12$, indépendamment des autres clous. Si l'on appelle succès « partir à droite », la case d'arrivée (numérotée de $0$ à $n$ de gauche à droite) est le nombre de succès : elle suit la loi $\mathcal{B}\left(n\,;\frac12\right)$. La case $k$ est atteinte avec la probabilité $\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$ : les billes s'accumulent au centre. La planche porte le nom de l'Anglais Galton, qui a étudié la répartition des données autour de la moyenne.

8.4 Un échantillon d'une variable aléatoire

Un échantillon de taille $N$ d'une variable aléatoire est obtenu en répétant $N$ fois, de façon indépendante, l'expérience qui la définit. En Python, c'est une liste de $N$ simulations.

def echantillon(n, p, N):
    return [binomiale(n, p) for i in range(N)]

E = echantillon(8, 0.5, 1000)
print([E.count(k) for k in range(9)])

E.count(k) compte les éléments de la liste égaux à k. Une exécution a affiché [5, 26, 103, 211, 273, 224, 119, 36, 3] : ce sont les nombres de billes dans les neuf cases d'une planche de Galton à $8$ rangées.

Les fréquences sont proches des probabilités, sans leur être égales ; une autre exécution donne d'autres nombres. Le chapitre 16 (loi des grands nombres) expliquera pourquoi l'écart reste petit quand $N$ est grand.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Probabilités conditionnelles : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ; sur un arbre, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins qui mènent à un même événement (probabilités totales). $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
2. Succession d'épreuves indépendantes : une issue est une liste $(x_1\,;\ldots\,;x_n)$ d'un produit cartésien, et sa probabilité est le produit $P(x_1) \times \cdots \times P(x_n)$. Pour deux ou trois épreuves dépendantes, on multiplie avec des probabilités conditionnelles.
3. Bernoulli : une épreuve à deux issues, succès ($p$) et échec ($1 - p$) ; la loi de Bernoulli a pour espérance $p$ et pour variance $p(1 - p)$ ; un schéma de Bernoulli répète $n$ fois la même épreuve, de façon indépendante.
4. Loi binomiale : le nombre de succès $X$ d'un schéma de Bernoulli suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$, et $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$ (démontré par la règle du produit et le dénombrement des chemins à $k$ succès).
5. Calculs : $P(X \leqslant k)$ est une probabilité cumulée ; $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a - 1)$ ; $P(X \geqslant a) = 1 - P(X \leqslant a - 1)$.
6. Seuil : $P(X \geqslant 1) = 1 - (1 - p)^n$ ; on résout avec $\ln$, en changeant le sens quand on divise par $\ln(1 - p) < 0$, ou avec une boucle « tant que ».
7. Intervalles et surréservation : on cherche $I$ tel que $P(X \in I) \geqslant 1 - \alpha$ en lisant les probabilités cumulées, et le plus petit $k$ tel que $P(X > k) \leqslant \alpha$ avec un algorithme.
8. Simulation : random() < p simule un succès de probabilité $p$ ; un échantillon est une liste de $N$ simulations, dont les fréquences sont proches des probabilités.